こんにちは。数学の問題について質問です。

質問

こんにちは。数学の問題について質問です。

１辺の長さが4の正八面体ABCDEFがある。
半径ｒの８個の球が正八面体ABCDEFの外側にあり、隣り合う球は互いに接している。各球は各面と、各面の重心に接している。
ｒを求めなさい。

解説付きで回答おねがいしますｍ（＿＿）ｍ

回答No.2

nattocurry · ベストアンサー

思いっきり課題の丸投げですね。

いずれ削除されると思いますよ。

ただ、面白い問題なので、解いてみました。

丸投げだと、質問者様がどこまで解っているのか、さっぱり解らないので、質問者様に理解できるような説明になっていないかもしれません。

正八面体のそれぞれのは正三角形である、ということは解っていますか？

正三角形の重心の位置は、辺の中心から対角に向かって1/3の位置、ということは解っていますか？

この問題の場合、辺の長さは4なので、辺の中心から対角までの距離は2√3、ということは解っていますか？

なので、辺の中心から重心までの距離は(2√3)/3、となります。

正八面体の上半分を考えます。
頂点Aに集まる4つの正三角形だけでできる四角錘になります。底面は辺の長さが4の正方形です。
イメージできますか？

それを横から見ると、底辺の長さが4、斜辺の長さが2√3の二等辺三角形になるのは解りますか？

右側の斜辺に注目します。

斜辺の下から(2√3)/3の距離に、正三角形の重心があります。
そこから垂直に右上に半径rの距離に、球の中心があります。
この球は、下半分の対称の位置にもあるので、三角錐の底面と同じ平面で接することになります。
なので、球の中心は、底面からも半径rの距離の位置にあります。

底面から正三角形の重心までの高さは、(2√3)/3 ÷ 2√3 × 2√2

正三角形の重心から球の中心までの高さは、r ÷ 2√3 × 2

この2つの値を足したものが、球の中心の高さ r に等しいので、

(2√3)/3 ÷ 2√3 × 2√2 ＋ r ÷ 2√3 × 2 ＝ r

これを解くと、r＝(3√2+√6)/3

図を使わずに、文章だけで説明すると、私にはこれが限界です。

お礼

回答ありがとうございます！

結構考えたんですがわからなかったので・・・。
最終手段で質問してみました・・。

わかりやすかったです。ありがとうございました！

回答No.5

edomin7777

たびたびすいません。＃１です。

＃２さんの
「思いっきり課題の丸投げですね。

いずれ削除されると思いますよ。」

は、今は禁止事項じゃないみたいですよ。

http://faq.okwave.jp/EokpControl?&tid=950130&event=FE0006

参考まで…。

お礼

わざわざご報告ありがとうございます。
安心しました。

回答No.4

edomin7777

＃１です。

大笑いです。

私のは、正６面体ですね…。

球も６個しか無いし…。

回答No.3

banakona

正八面体の上半分で考える。

その底面の重心をＰ、側面をなす正三角形の重心をＧ1、その隣の側面の重心をＧ2、Ｇ1にて側面に接する球の中心をＳ1、Ｇ2にて側面に接する球の中心をＳ2とする。

Ｇ1,Ｇ2を通って底面に平行な面と、２側面間の稜線との交点をＡとする。

ＡＧ1は底面の辺の半分の２／３なので４／３。
△ＡＧ1Ｇ2は直角二等辺三角形なのでＧ1Ｇ2は４√２／３。
ＰＧ1は三平方の定理でせっせと計算すると２√２／３

△ＰＧ1Ｇ2を取り出し、求める半径をｒとすると（右図）
　ＰＧ1：Ｇ1Ｇ2＝（ＰＧ1＋ｒ）：２ｒ

上記の数値を代入して計算すると、＃２さんの結果に一致するようです。

お礼

回答ありがとうございました。

なっとくしました！
わざわざ図もありがとうございます！

回答No.1

edomin7777

真横から見たら添付の画像のようになりませんか？
O1とO2間は2r
O1とO3間はr+2
なので、３平方の定理から
(2r)^2=2(r+2)^2
を解けば答えが出ると思います。

(2r)^2=2(r+2)^2
4r^2-2(r^2+4r+4)=0
4r^2-2r^2-8r-8=0
2r^2-8r-8=0
r^2-4r-4=0
解の公式から
r=(4±√(16+16))/2
　=(4±√32)/2
　=(4±4√2)/2
　=2±2√2
負の解は題意より不適なので
r=2+2√2

かな？

お礼

回答ありがとうございます。

考え方はわかりました！