直線の通過範囲について

質問

直線の通過範囲についての問題です。「実数tによって定まる２点P(0,-t) , Q(t , t^2 - t)がある。tがすべての正の実数を動くとき線分PQが通過する範囲を図示せよ。」
という問題についてなのですが、一行目に「実数t」という表現があるにもかかわらす、「tがすべての正の字数を動く」とはどういうことでしょうか。おかしくないでしょうか。「実数」と「正の実数」では明らかにイコールではないですよね。どう考えればよいのでしょうか。

回答No.7

newtype

ああやっちまった。計算間違いです。

→ＰＱ＝（ｔ，ｔ^2）∴→ＰＱの法線ベクトル＝（ｔ^2，－ｔ）
直線ＰＱの方程式は（ｘ，ｙ＋ｔ）・（ｔ^2，－ｔ）＝０
⇔（ｔ^2）ｘ－ｔ（ｙ＋ｔ）＝０
⇔（ｔ^2）ｘ－ｔｙ－ｔ^2＝０…☆
を実数ｔとしてまず解いてみよう。
＜解＞
ｔ≠０のとき、☆式はｔで割って、ｔｘ－ｙ－ｔ＝０…☆この式をｔについて整理すると、
ｔ（ｘ－１）－ｙ＝０
これは直線ｘ＝１，ｙ＝０の交点を通る回転曲線群である。
但し、ｔがどの値をとっても点（１，０）以外の直線ｘ－１＝０は成り立たない。
ｔ＝０のときを考えると点（０、０）のとき成り立ちこれは 上記の回転直線に含まれる。
よって、答えは
「ｘ、ｙ平面上のすべての領域を点（１．０）以外の直線ｘ＝１を除いて塗りつぶせばよい。」

さて上の解はｔに制限をつけない場合である。
私は多くの問題を自然に式の値を求めるのが好きなんだがこの場合は無理だ。
そこで逆の対応の概念でやると、（s-wordさんがやっているのは普通に代入するやり方）

求める領域は（過程省略）
１＜ｘ，０≦ｙのとき、０≦ｘ^2－ｘ≦ｙ
ｘ＜１，ｙ≦０のとき、ｙ≦ｘ^2－ｘ≦０
但し点（１、０）はこれに含まれる。

以上これでどうだ。

お礼

お返事どうもありがとうございます。

＞→ＰＱ＝（ｔ，ｔ^2）∴→ＰＱの法線ベクトル＝（ｔ^2，－ｔ）
直線ＰＱの方程式は（ｘ，ｙ＋ｔ）・（ｔ^2，－ｔ）＝０
⇔（ｔ^2）ｘ－ｔ（ｙ＋ｔ）＝０
⇔（ｔ^2）ｘ－ｔｙ－ｔ^2＝０…☆
を実数ｔとしてまず解いてみよう。

すいません、この部分がよくわからないのですが。まず法線ベクトルの決め方なのですが、これは無数にあるので一例を決めればよいのですよね。そこで、しての式なのですが、

「直線ＰＱの方程式は（ｘ，ｙ＋ｔ）・（ｔ^2，－ｔ）＝０ 」
この（ｘ，ｙ＋ｔ）は何を表しているのかよくわかりません。それと、（ｘ，ｙ＋ｔ）とPQの法線ベクトルを掛けることで、なぜ、直線ＰＱの方程式になるのかがわかりません。それと、回転曲線群と回転直線がどのような物なのかわからないので、お教えいただけますでしょうか。何度もすいません。