フィッティング

質問

何らかのピークのデータがあるとしますよね？それをデータ解析するのにフィッティングします。そのときよくあるガウシアンとローレンツィアン。これらがどういうフィッティングなのかを知りたいです。これを知らなかったらどういう場合にどういうフィッティングをしたらいいのかわかりませんよね？例えば、何を見たらのってたりするものなのでしょうか？自分で探してみたけど見つかりません。しかも今現在そのフィッティングが目の前まで差し迫ってきています。誰か助けて！

回答No.1

guiter · ベストアンサー

ガウシアンは最もよく出てくる分布で
　f(x) = 1/(σ√2π)^(1/2)exp{-(x-μ)^2/(2σ^2)}
という形をしています。
ここで、μは平均、σ^2は分散です。

ローレンチアンは、共鳴曲線などで見かける分布で
　g(x) = (1/π)β/{β^2+(x-α)^2}
という形になっています。
こちらは、平均はαですが分散は発散しています。

式を見ればわかるように、ローレンチアンのほうが減衰が遅く裾が広いですね。

お礼

なるほど。ローレンチアンは分散発散型なわけですね！そのひとことでＯ．Ｋ．です。どうもありがとう。

回答No.2

128yen

数学の場合は平均や分散などを用いますが、物理ではこっちの表記がいいかもしれません。

ピークのの中央値（平均のことですね）をx、ピークの高さをh、半値幅wとした時の位置xでの波形f(x)は、

f(x)の分子=h
f(x)の分母=[4{1+M(x-p)^2}/w^2]・exp{4{(1-M)ln2・(x-p)^2/w^2}]

という形で表わすことができます。（ちょっと複雑ですね。）
ちなみに、ln2のlnというのは自然対数（底がeのlogのことです）で
Mはガウス関数とローレンツ関数の混合の割合を示し、M=0であればガウス関数のみのピーク、M=1であればローレンツ関数のみのピークとなります。
この式であれば、ガウスとローレンツ関数を合成した関数なのでとても便利だと思います。

この式がわかれば、次は元の波形とf(x)とのフィッティングをしてあげます。
フィッティングの方法はいくつかありますが、最も一般的なのが最小二乗法でしょうか？最小二乗法とは、元の波形y(x)とフィッティング関数f(x)との誤差がすべてのxについて行ったときに誤差が最も小さくなるようにするものです。
式で簡単に書けば、χ=Σ{y(x)-f(x)}^2です。
このχが最も小さくなるように、パラメータであるh、w、p、Mをいじります。
そう簡単ではないので波形解析ソフトでやってあげる方がいでしょうね。私が利用しているソフトは、Comproというソフトを使っています。英語ですしはじめての方はかなり使いにくいかもしれませんが（私もたまにしか使わないのでまだ操作とかわからないところがあり苦しんでますが）、フリーソフトなのでパソコンに容量があるなら持っておくといいと思います。

参考URL：

http://sekimori.nrim.go.jp/sasj/compro.html

お礼

うおー！ありがとうございます！