等号成立について。

質問

相加・相乗平均での不等式に証明で等号成立の仕方がわかりません。教えてください。

回答No.2

kohma · ベストアンサー

元の式が(a+b)/2>=√abだと仮定して・・・
両辺２乗して
(a^2+2ab+b^2)/4>=ab
(a^2-2ab+b^2)/4>=0
(a-b)^2>=0
(a-b)がどんな値であってもその２乗は常に０以上であるから、
(a-b)^2>=0はあらゆるa,bに対して成り立ち、
よって(a+b)/2>=√abもあらゆるa,bに対して成り立つ。
等号成立は(a-b)^2>=0で等号が成立すればいいので、
a=bのとき
Q.E.D.
・・・じゃなかったでしたっけ？

回答No.4

nozomi500

「不等式に」、というのは、ある不等式で、ということでしょうか。
回答2,3は、一般的に「相加平均、相乗平均」の説明ですが、そういう質問だったのでしょうか。

回答No.3

ezokagura

kohmaさんが書かれたことで良いと思います。
具体的な値を入れてみれば一目瞭然と思います。

(3+3)/2 = √3×3

従って自信「あり」です。内容的には何も追加してませんが＾＾；

回答No.1

sophy

不等式の等号成立の条件って、
ex. a,bが正の整数のとき次の不等式を
証明し、等号の成り立つ場合を言え。

a+b/2 >= √ab >= 2ab/a+b

とか、なんか指定があるんじゃなかったっけ？？
そうだったらわかるかもしれないです。