等号成立

質問

不等式
aa+bb+cc≧ab+bc+ca
の等号が成立するのは、
a=b=c
のときのみだと言うことですが、どうもすっきりしません。
論理的に解説していただけないでしょうか?

回答No.4

noname#221368

最初に、参考意見である事をお断りします。
　高校生の方だと思います。他の皆さんの解法が正統的なものです。

　以下のやり方は、受験勉強などにおいて、余りこだわって欲しくない方法ですが（正統的な解法が大事です）、まさに試験時の緊急避難措置には使えるかも知れないと思って、参考として書きます。

　自分は大学で、構造物の数値解析が専門でしたが、構造物の対称性に注意すると、数値計算をするまでもなく、答えがわかる場合があります。これは、そんな発想です。

　aa+bb+cc＝ab+bc+ca

の右辺を見ると、(a，b)，(b，c)，(c，a)の組について対称なのがわかります（交換しても結果かわらず）。しかし左辺は、そうでありません。このような時、両辺の対称性の差を利用すると、思わぬ結果が出ます。
　実際、右辺で(a，b)を交換します。左辺は右辺に等しいので、左辺で(a，b)を交換しても「＝」のはずです。

　ba+ab+cc＝ab+bc+ca＝aa+bb+cc

なので、最左辺＝最右辺とおいて、

　2ab+cc＝aa+bb+cc
　2ab-aa-bb＝0
　a(b-a)+b(a-b)＝0
　(a-b)(b-a)＝0
　(a-b)^2＝0

より、a=bです。同様に、(b，c)，(c，a)を交換して、

　(b-c)^2＝0，(c-a)^2＝0

を導けます。

　もう一回言います。参考です。

回答No.3

noname#107596

(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2≧0
からその不等式は導かれます。

なので等号成立は
(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0
のときですが、
(a-b)^2、(b-c)^2、(c-a)^2は負にはならないので
(a-b)^2=0、(b-c)^2=0、(c-a)^2=0
よって
a=b=cのみ

だと思います

回答No.2

nag0720

aa+bb+cc-(ab+bc+ca)={(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}/2

これが0になるのは、a=b=cのときのみです。

回答No.1

-somebody-

もしもベクトルの内積についてご存知でしたら

空間ベクトルの内積を考えることで(比較的あっさり)解決可能です。(ベクトルをご存じなかったらごめんなさい。)

二つのベクトル
→
x(a,b,c)
と
→
y(b,c,a)
を考えます。

すると
内積の定義より
→ → → →
x・y＝ab+bc+ca=|x||y|cosθ=(a^2+b^2+c^2)cosθ
となります
ここで
-1≦cosθ≦1
なので
ab+bc+ca≦a^2+b^2+c^2
となり
cosθ=1となるときに統合が成立しますが
cosθ=1となるときは
ベクトルxとyの方向が一致する時なので
a=kb
b=kc
c=ka
(kは任意の実数の定数)
となり
これを解くと
a=b=cが得られます。

もしかしたらベクトルをご存じないかもしれません。
一応論理で証明する方法があった気がするのですが
思い出せませんでした。
ごめんなさい。