等号成立について

質問

|a|+|b|≧|a+b|の等号成立がab≧0になる理由が分かりませんab≦0じゃだめなんですか？

回答No.3

noname#212313 · ベストアンサー

>|a|+|b|≧|a+b|の等号成立がab≧0になる理由が分かりませんab≦0じゃだめなんですか？

　a＝-1、b＝1と置いてみましょう。ab＝(-1)×1＝-1＜0ですね（ab≦0も満たしている）。計算してみると、|a|+|b|＝|-1|+|1|＝1+1＝2、|a+b|＝|-1+1|＝0です。2≠0ですから、等号は成立しません。こういう反例がある以上、ab≦0では「必ずしも」等号が成立するとはいえません（aやbの値によっては成り立つかもしれないが、どんなaとbでも成り立つとは保証できない、ということ）。

　全て絶対値なので、不等式の両辺が0以上であることは確実です。|a|+|b|≧|a+b|≧0ということですね。

　それなら両辺を2乗しても不等号の向きは変わりません。マイナスなら2乗するとプラスに変わって不等号の向きが変わりますが、プラスなら2乗してもプラスのままだからです。

　等号の成立条件を調べていますので、等式にしてしまいましょう。

　|a|+|b|＝|a+b|
∴(|a|+|b|)^2＝|a+b|^2　←両辺を2乗してみる
∴|a|^2+2|ab|+|b|^2＝|a+b|^2　←左辺を展開してみる
∴|a|^2+2|ab|+|b|^2＝|a^2+2ab+b^2|　←右辺も展開してみる

　右辺を見ると、a^2とb^2は0以上です。しかし、2abはaとbの正負が異なればマイナスの値となります。2abがプラスなら右辺の値を増やし、マイナスなら減じることになります。0なら増減はありません。

　一方、右辺の2abに相当する左辺の項は、2|ab|というaやbの正負に関わらず、必ず0以上になる項です。左辺の2|ab|はabが0以外なら必ず左辺の値を増やし、0なら増減はありません。

　ということは、右辺の2abが0以上のときだけ、等号が成立することになります。不等式で表せば、

　2ab≧0

ということですが、両辺を2で割って、

　ab≧0

という、お示しの条件が出ます。これならaとbの値（正負や0）を全て考慮した結果ですから、必ず等号が成り立つ条件になります。

回答No.4

178-tall

>|a|+|b|≧|a+b|の等号成立がab≧0になる理由が分かりません ab≦0じゃだめなんですか？

|a|+|b| = |a+b| のとき、
　{ |a|+|b| )^2 - |a+b|^2 = 2*( |ab| - ab ) = 0
だろうから、
　|ab| = ab ≧0

回答No.2

yyssaa

＞例えばa=1、b=-1のとき|a|+|b|=2、|a+b|=0となり等号は成立しない。

回答No.1

aokii

等号成立
|a|+|b|=|a+b|
a=-2 b=2の場合（ab<0）
4=0になってしまいます。