等号について

質問

a>0,b>0のとき、不等式|(a/b)√a -(b/a)√b|≧|√a-√b|…（※)
が成り立つことの証明と符号が成り立つことを教えてください

|(a/b)√a -(b/a)√b|≧|√a-√b|…（※)
{|(a゜2)√a-(b゜2)√b|}/ab≧|√a-√b|
ab>0より
両辺にabをかけて
|(a゜2)√a-(b゜2)√b|≧ab|√a-√b|
両辺を２乗して
（(a゜2)√a-(b゜2)√b)゜2≧(a゜2)(b゜2)（√a-√b）゜2

成り立つで良いのでしょうか？

等号が成り立つには

（(a゜2)√a-(b゜2)√b)゜2≧(a゜2)(b゜2)（√a-√b）゜2

(左辺）-(右辺）=
（(a゜2)√a-(b゜2)√b)゜2-(a゜2)(b゜2)（√a-√b）゜2
={(a-b)゜2}(a＋b){(a゜2)＋ab＋(b゜2)}
a>0かつb>0より
{(a-b)゜2}＞０
(a＋b){(a゜2)＋ab＋(b゜2)}>0

から等号の考えかたが分からないです。

回答No.3

take008

> 成り立つで良いのでしょうか？

いけません。
解答は No.2 さんを参考にしてください。
私は，証明の書き方についてアドバイスします。

ふつう
--------------------
　式1
　式2
　 :
　 :
　式n
-------------------
と書いたら，
-------------------
　　式1
　∴式2
　 　:
　 　:
　∴式n
-------------------
の意味です。したがって，式1⇒式n の証明になります。
ですから，あなたが書いたのは，(※)から
　(★)　（(a゜2)√a-(b゜2)√b)゜2≧(a゜2)(b゜2)（√a-√b）゜2
を証明したことになります。
証明したい式を同値変形して易しい式にして考える，ときの書き方は
-------------------------------
　　式1
　⇔式2
　　:
　　:
　⇔式n
　したがって，式n を示せばよい
--------------------------------
と，同値変形していることが読んでいる人にわかるように書きます。
もちろん，それから式nを示します。
あなたが，
　成り立つ
と言っている(★)は，見ただけでは成り立つかどうか明らかではないですね。
見て直ぐ「≧ が成り立つ」とわかる式まで変形すると，「＝ が成り立つ」条件もわかるはずです。

回答No.2

debut

右辺、左辺とも正なので、(左辺)^2－(右辺)^2≧０で証明です。

(左辺)^2－(右辺)^2＝・・・＝(a-b)^2(a+b)(a^2+ab+b^2)/(a^2b^2)
a>0,b>0だから、a+b>0,a^2+ab+b^2>0,a^2b^2>0,そして、(a-b)^2≧0
よって、(a-b)^2(a+b)(a^2+ab+b^2)/(a^2b^2)≧０
したがって、左辺≧右辺
等号が成り立つのは(a-b)^2≧０のところから出てきます。

回答No.1

Tacosan

普通「x の 2乗」は x^2 と書きます.
で, なぜ a>0, b>0 から (a-b)^2 > 0?