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材料力学の問題ですが

横断面が円形であるテーパ棒の両端を引張り力Pで 引張ったときの棒の伸びλを求めよ ただし両端部のRはそれぞれr1、r2として棒の長さは Lとする と言う問題ですが、答えは λ=LP/Eπr1r2 となるのですが、 求め方がわかりません 断面毎に応力が変化するので λ=L/E∫[0 L]σ(x)dx とこれをとけばいいのかと思ったのですが ([0 L]は積分範囲です) どうしても答えが合いません どなたか教えて頂けないでしょうか?

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  • 物理学
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質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • 回答No.1
  • FM-8
  • ベストアンサー率39% (65/164)

答えを書いちゃいけないのかもしれませんが, 間違ってる可能性大ですので,書いちゃいましょう. 左の端面の半径をr1, 右端をr2とし, 左端をx=0,右端を x=L とします. 伸びδは,積分区間を(0,L)として δ=∫εdx ε=σ/E σ=P/A A=π(r1+(x/L)(r2-r1))^2 よって, δ=∫(1/E)(P/(π(r1+(x/L)(r2-r1))^2 ))dx =(P/(πE))∫(1/((r1+(x/L)(r2-r1))^2))dx =(P/(πE))(L/(r2-r1))[(1/(r1+(x/L)(r2-r1))] (0,L) =(PL/(πE(r2-r1)){1/r1 - 1/r2} =(PL/(πEr1r2(r2-r1)))(r2-r1) = PL/(πEr1r2) テキストだと書きにくいですね. 一応,ご質問者の言う答えとは一致しましたが, どうでしょうか.

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  • 回答No.3
  • k_riv
  • ベストアンサー率57% (105/183)

#2です。ヒントを忘れました。 L=Ll-L0=L0-L1 L1=(L0・r2)/r1

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  • 回答No.2
  • k_riv
  • ベストアンサー率57% (105/183)

数学的には,#1さんの回答でOKだと思います。 が,材料力学の場合は次のような考え方をします。 まず,棒の太い方の端をA端(半径r1)他端をB端(半径r2)とし,(r1>r2),テーパーをB端側に伸ばすと,焦点(0)が出来ます。そして,A端と焦点(0)の距離を(L0),B端と焦点(0)の距離を(L1)とします。ここで棒上の任意の点から焦点までの距離を(x)とします。(L0>x>L1)。 ここで,任意の点の断面積をA(x)とすれば, A(x)=π(r1^2/L0^2)・x^2 任意の点の伸びは, σ(x)=P/A(x) λ(x)=(P・L0^2)/(E・π・r1^2・x^2) ここで棒の伸びはL0からL1までの積分に成るので λ=∫[L0 L1](P・L0^2)/(E・π・r1^2・x^2)dx λ=(P・L0^2)/(E・π・r1^2)[1/L0-1/L1] 以後は,数学的に解いて,#1,さんと同じに成ると思います。

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