材料力学の問題ですが

質問

横断面が円形であるテーパ棒の両端を引張り力Pで
引張ったときの棒の伸びλを求めよ
ただし両端部のRはそれぞれr1、r2として棒の長さは
Lとする

と言う問題ですが、答えは
λ＝LP/Eπr1r2
となるのですが、
求め方がわかりません
断面毎に応力が変化するので
λ=L/E∫[0 L]σ(x)ｄｘ
とこれをとけばいいのかと思ったのですが
([0 L]は積分範囲です)
どうしても答えが合いません
どなたか教えて頂けないでしょうか？

回答No.1

FM-8 · ベストアンサー

答えを書いちゃいけないのかもしれませんが，
間違ってる可能性大ですので，書いちゃいましょう．

左の端面の半径をr1, 右端をr2とし，
左端をx=0,右端を　x=L とします．

伸びδは，積分区間を(0,L)として
δ=∫εdx
ε=σ/E
σ=P/A
A=π(r1+(x/L)(r2-r1))^2

よって，
δ=∫(1/E)(P/(π(r1+(x/L)(r2-r1))^2
))dx
=(P/(πE))∫(1/((r1+(x/L)(r2-r1))^2))dx
=(P/(πE))(L/(r2-r1))[(1/(r1+(x/L)(r2-r1))] (0,L)
=(PL/(πE(r2-r1)){1/r1 - 1/r2}
=(PL/(πEr1r2(r2-r1)))(r2-r1)
= PL/(πEr1r2)

テキストだと書きにくいですね．
一応，ご質問者の言う答えとは一致しましたが，
どうでしょうか．

お礼

お礼が遅くなってしまい大変申し訳ございません
やっと理解できました

回答No.3

k_riv

＃２です。ヒントを忘れました。

L=Ll-L0=L0-L1

L1=(L0・r2)/r1

回答No.2

k_riv

数学的には，＃１さんの回答でＯＫだと思います。
が，材料力学の場合は次のような考え方をします。

まず，棒の太い方の端をA端(半径r1)他端をB端（半径r2)とし，（r1>r2)，テーパーをB端側に伸ばすと，焦点(0)が出来ます。そして，A端と焦点(0)の距離を（L0），B端と焦点(0)の距離を（L1）とします。ここで棒上の任意の点から焦点までの距離を（ｘ）とします。（L0>x>L1)。

ここで，任意の点の断面積をA（ｘ）とすれば，

A(x)=π（r1^2/L0^2)・x^2

任意の点の伸びは，

σ(x)=P/A(x)

λ(x)=(P・L0^2)/(E・π・r1^2・x^2)

ここで棒の伸びはL0からL1までの積分に成るので

λ=∫[L0　L1]（P・L0^2)/(E・π・r1^2・x^2）dx

λ=（P・L0^2)/(E・π・r1^2）［1/L0-1/L1]

以後は，数学的に解いて，＃１，さんと同じに成ると思います。

お礼

お礼が遅くなってしまい大変申し訳ございません
やっと理解できました