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積分 絶対値つき

a>0 のとき f(a)=∫(0、1)|3x(x-a)|dx            ↑定積分です ・f(a)を求めよ ・a>0 における f(a)の最小値を求めよ。 この問題を解いています。 0<a<1 と a≧1 に場合わけしてみたのですが、 計算をどうやるかがよくわかりません。 回答いただけるとありがたいです。 宜しくお願いいたします。

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  • Noy
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回答No.1

g(x)=3x(x-a)とおき、y=g(x)のグラフを書いて見ましょう。このような問題は、グラフを書かないことには始まりません。 グラフを書いてみて、何がわかりますか?y=g(x)とx軸の交点はどうですか?x=0は確定です。a>0より、x=aはx=0より必ず右側にあることがわかります。 今、積分区間は0から1なので、0<a<1とa≧1に場合分けして考える必要があります。 (質問者さんは、この場合わけは出来ていますね。ということは、あと一歩のところまで来ているのですよ!) i)0<a<1のとき、 f(a)=∫[0, a] (-3x(x-a))dx+∫[a, 1] (3x(x-a))dx ii)a≧1のとき、 f(a)=∫[0, 1] (-3x(x-a))dx となりますよね。 これらの積分計算をして、aの式にします。 あとは、関数の最大・最小問題に変わります。 分からないところがあれば追加質問してください。

その他の回答 (2)

  • Noy
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回答No.3

#1です。訂正&補足です。 g(x)=|3x(x-a)| に訂正です。すみません。このグラフは、描けますか? 描くにあたって、x≦0, 0<x≦a, a<xの三つの区間について考えなければなりません。(それぞれの区間で、g(x)の値はどうなるのか、ということです) しかしこの程度の絶対値のグラフなら、y=3x(x-a)のグラフを描いて、x軸より下の部分を折り返して描く、という方法もできます。

  • postro
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回答No.2

y=|3x(x-a)| のグラフはどうなるか考えてみて。 y=3x(x-a) のグラフのx軸から下の部分を折り返したグラフですよね? それで0から1までのx軸に囲まれた面積を求めればよい。面積を求めるときは 0<a<1 と a≧1 に場合わけする必要がありますね。

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