定積分について

質問

a>0のとき　F(a)=∫[1→0]｜x(x-a)｜dx　の最小値を求めよ。
という問題なのですが、解答を見ても意味がわかりません。

(i)　0<a<1のとき
F(a)=a^3/3 　-　 a/2　 +　 1/3
F'(a)=(a+ √2/2)(a- √2/2)
よって最小値はF(√2/2)=2-√2/6　（←分子は2-√2です）

(ii)　1≦aのとき
F(a)=-∫[1→0]｜x(x-a)｜dx
　　=-1/3　 +　 a/2

よって最小値はF(1)=1/6

(i)(ii)より　a=√2/2　のとき最小値2-√2/6

これが解答なのですが、(ii)がわかりません
なぜa=1で最小を取るとわかるのですか。

それと、(ii)では最小値がF(1)=1/6なのに、
なぜ最終的な答えは
(i)(ii)より　a=√2/2　のとき最小値2-√2/6
になるのですか。
(ii)のF(1)=1/6　は何のために示すのでしょう？

解説よろしくお願いします。

回答No.1

LightOKOK

まず、
>なぜa=1で最小を取るとわかるのですか

F(a)=a/2-1/3　で、(i)と同じように微分してみると、F'(a)=1/2>0
ですから、F(a)は単調増加です。従って、a≧1　の最小のa=1で、
最小値をとるからです。

>(i)(ii)より　a=√2/2　のとき最小値2-√2/6
>になるのですか。
>(ii)のF(1)=1/6　は何のために示すのでしょう？

aの範囲を２つに分けて、それぞれの範囲で求めた最小値同士を
比較して、小さい方が最終的な最小値になります。
1-(2-√2)=(√2)-1>0　ですから、
(2-√2)6<1/6
なので、最小値は、(2-√2)/6