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集合と命題
shkwtaの回答
- shkwta
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かなり混乱されているので、ゆっくり書きます。 これはたぶん背理法の説明を書こうとされていると思います。 (P→Q)を証明するのに、(P∧(￢Q))から矛盾を導くのが背理法です。ここで、∧は「かつ」(and)を表わす記号です。「または」(or)は∨と書きます。 Pと(￢Q)の両方を仮定して矛盾が起こることを示すと、(P→Q)を証明したことになります。これを式で書けば、 ((P∧(￢Q))→O)⇔(P→Q) ここで、Oは偽なる命題（つまり矛盾）です。Oの代わりに、仮定に反する命題、(￢P)、あるいはQでもかまいません。 上の式の証明は、 ((P∧(￢Q))→O) ⇔(￢(P∧(￢Q))∨O ⇔((￢P)∨Q∨O ⇔(P→Q) ここで、(￢￢A)⇔A、(￢(A∧B))⇔((￢A)∨(￢B))、A∨O⇔A の公式を使っています。 さて、ご質問のように「P→Q(バー)が矛盾していることを証明」したらどうなるでしょう？ (P→(￢Q))→O ⇔((￢P)∨(￢Q))→O ⇔￢((￢P)∨(￢Q))∨O ⇔P∧Q つまり、「P→Q(バー)が矛盾していることを証明」するというのは、PとQをそれぞれ別々に証明するというのと同じことです。これはP→Qと同値ではなく、P→Qより厳しい条件(Pが偽であってはならない）になります。 『P→Q(バー)が矛盾しているということは、Pであり、かつQである』ということです。 No.1の補足について ＞P→￢Qが矛盾してるということは、￢(P→￢Q)ということですか？ その通りです。 ＞もしそうなら、￢(P→￢Q)⇔￢P→Q,ですか？ 上に書いたように、 ￢(P→￢Q)⇔P∧Q です。
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