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集合と命題
shkwtaの回答
- shkwta
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No.2補足への回答です。 ＞ ￢(P→￢Q)⇔P→Q これはまちがいです。正しくは ￢(P→￢Q)⇔P∧Q です。 証明は ￢(P→￢Q) ⇔￢((￢P)∨(￢Q)) ⇔P∧Q ＞ (P∧(￢Q)とは、なんですか？(どのようなじょうたいですか？) ∧記号は、「かつ」(and)を示します。∧の両側の命題がともに成立していることを示します。 (P∧(￢Q))とは、Pが真であり、かつQが偽であることを示します。 ＞なぜ同値にならないのですか？ 証明に書きましたが、￢(P→￢Q) や (P→(￢Q))→O は P∧Q と同値です。 (P∧Q)と(P→Q)は同値ではありません。(P∧Q)は、PとQの両方が真であることを主張します。一方、(P→Q)はPとQが真であるとか偽であるとかは主張していません。ただ、Pが真であるときはかならずQが真になると主張しているだけです。Pが偽のときは、Qは真でも偽でもかまいません。 ＞なぜ→が∧や∨にかわるんですか？ (P→Q)は、Pが真であるときはかならずQが真になると主張しますので、 Pが真でQが真 Pが偽でQが真 Pが偽でQが偽 の３つの場合を含みます。「Pが真でQが偽」だけがあり得ません。 一方、(￢P)∨Q について調べます。これは、Pが偽であるか、またはQが真であると主張します。したがって、 Pが真でQが真 Pが偽でQが真 Pが偽でQが偽 の３つの場合を含みます。「Pが真でQが偽」だけがあり得ません。 このように、(P→Q)と (￢P)∨Q は同じであり、つまり同値です。よって、(P→Q)は(￢P)∨Qに置き換えられます。No.2の証明ではこれを使っています。 No.3補足への回答です。 ＞なぜ、Pが偽であってはならないんですか？ (P∧Q)は、 Pが真でQが真 の場合だけを含みます。 (P→Q)は、 Pが真でQが真 Pが偽でQが真 Pが偽でQが偽 の３つの場合を含みます。したがって、(P∧Q)は(P→Q)に含まれますが、(P∧Q)では、(P→Q)とちがって、Pが偽であってはならないのです。
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お礼
返信ありがとうございました。 まだ、詳しくよんでいないんですが、 こんなに長くにわたってありがとうございました。 本当に恐縮です。