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複素数の別解を教えてください

こんな問題が入試で出ました。 z=cos72°+i*sin72°のとき、 (1) z^5=ア z^4+z^3+z^2+z=イ (2) (1)より、 cos72°+cos144°=ウ cos72°*cos144°=エ (3) よって cos72°=オ cos36°=カ 解けるのは解けたのですが、私はウを求めてから、オを求めてエ→カの順序で解きました。 ウを求めたあと、2倍角の公式でcos72°を求めたのです。 (2)を見たときに、解と係数の関係を思いついたのですが、結局使わず解けました。 ウ→エ→オ→カの順序で解ける別解法があれば教えてください。

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • shkwta
  • ベストアンサー率52% (966/1825)
回答No.1

4*エ=(z + z^4)(z^2 + z^3) =z^3 + z^4 + z^6 + z^7 =z^3 + z^4 + z + z^2 = イ となると思います。

その他の回答 (1)

  • oberon
  • ベストアンサー率33% (1/3)
回答No.2

        n (cosθ + i*sinθ)  = cos nθ + i*sin nθ を使うと、 ア・イは  5 z  = cos360° + i*sin360° = 1 ∴  5 z  - 1 = 0 ∴      4   3   2 (z - 1)(z  + z  + z  + z + 1) = 0 から求められるのですが、どうですか?

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