次式のフーリエ変換の求め方を教えてください。

質問

f(x)=e~(-x~2/2a~2)

この式のフーリエ変換を途中過程付きで教えてください。
宜しくお願いします。

回答No.2

guuman · ベストアンサー

exp(-z^2)
を
(-R,0)→(R,0)→(R,a)→(-R,a)→(-R,0)
で周回積分すると0になるというコーシの積分定理を使う
R→∞とすれば求まる
ガウシアンのフーリエ変換はガウシアンであることが分かります

お礼

お礼が遅くなって申し訳ありません。
コーシの積分定理を使うというのは思いつきませんでした。
確かにその方法ですと√（２π）が出てきました。
今回は本当に有難うございました。

回答No.1

physicsache

自信ありませんが・・・

F(k)={-∞→∞}∫exp[-(x^2/2*a^2+ikx)]dx
=[exp(-x^2/2*a^2)*exp(-ikx)]/(-x/a^2-ik){-∞→∞}

exp(-ikx)=cos(kx)-isin(kx) << ∞

exp(-x^2) → 0 (x→±∞)

1/(-x) → 0 (x→±∞)

よって、F(k)=0

なんて思ったんですが・・・
フーリエ変換習いたてなんで、よく分かりません。

お礼

ご回答有難うございます。
まず結論から申し上げますと、

∫exp[-(x^2/2*a^2)]*coskx dx

= √(2π)a*exp[-(a^2*k^2/2)]

となるそうですので、間違えということになります。
exp(-x^2/2*a^2)*exp(-ikx)/(-x/a^2-ik)を微分しても
exp[-(x^2/2*a^2+ikx)]にはなりませんから
その部分で間違われたのかと思います。