古典的波動力学の構築・・・波動方程式からホイヘンスの原理を導く

質問

古典的波動力学なんてメジャーな分類にならないかもしれませんが、その構成を考える上で悩んでいます。
高校物理の範囲で考えると、波動の基本原理は
ホイヘンスの原理ですが、
やはり、波動方程式から導くのが正当だと思います。
そこで、まずホイヘンスの原理を数学的に記述するとどう表記できるか？
波動方程式からいかに導けるかを教えて下さい。

回答No.1

grothendieck · ベストアンサー

３次元のベクトルを大文字、ベクトルの大きさを小文字で表すことにします。波動方程式□u=0の初期条件
　u(R,0)=0, ∂u/∂t|(t=0) = ψ(R)
を満たす解を求めます。
　□G(R,t)=0　…(1)
　G(R,0)=0,　∂G/∂t|(t=0) = δ(R)　…(2)
を満たすグリーン関数を用いると、
　u(R,t)= ∫G(R-R',t)ψ(R')d^3R'
と書けることは明らかです。
　G(R,t) = ∫A(K,ω)exp[i(K・R - ωt)]d^3Kdω
とフーリエ変換すると、(1)より
　(k^2 - ω^2/c^2)A(K,ω)=0
よって
　A(K,ω)=B(K)δ(ω-ck)+C(K)δ(ω+ct)
とおけるのでωについての積分を行うと、
　G(R,t)
=∫{B(K)exp[i(K・R-ckt)]+C(K)exp[i(K・R+ckt)]}d^3K
初期条件(2)より
　G(R,t)
=1/(2π)^3∫d^3K{exp[i(K・R-ckt)]-exp[i(K・R+ckt)]}/(-2ick)
=1/(2π)^3∫d^3Kexp[iK・R]sin(ckt)/ck
極座標で積分を行うと
　G(R,t)
=1/(2π^2cr)∫(0-∞)sin(kr)sin(ckt)dk
=δ(r-ct)/(4πcr)
すなわち
　u(R,t)=(1/4πc)∫{δ(|R-R'|-ct)ψ(R')/|R-R'|}d^3R'
これは時刻ｔでの場所Rのおける波動は、この点からの距離がctに等しい各点からの素波が重ねあわされたものと解釈されます。これがホイヘンスの原理です。

お礼

grothendieck様 ありがとうございます。
私にとっては数式が難しいので、直ぐには理解できないと思いますが、じっくり読んでいきたいと思います。
それで、私にとっての理解を構成していきます。

回答No.2

boson

「キルヒホッフの回折積分」
とか
「キルヒホッフの回折公式」
と呼ばれる式がホイヘンスの原理に相当します。

上記「」内の語句で検索をかけるといくつか引っかかると思います。

例えば
http://www-ueda.ide.titech.ac.jp/pdf/wave_theory1_6_3.pdf

参考文献
「理論電磁気学」砂川 重信著 紀伊国屋書店
http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/tg/detail/-/books/4314008547/

お礼

boson様 ご回答ありがとうございます。
返事が遅れたこと申し訳なく思います。
このような事があるということは,
ホイヘンスの原理と回折は同一視してもよい現象と理解してもよいでしょうか？(すいません、参考URL読むのが大変でしたので,まだ全部読んではいません)

また、No.1のgrothendieck様のご回答から考えたことですが,波動方程式の特殊な場合に(今の場合、初期値が指定されていました)ホイヘンスの原理が成り立つと言うことは,
ホイヘンスの原理は、波動において普遍的な性質ではないと言えるのか、
それとも、初期値は,式を簡単にする効果くらいしかなく
普遍性を失うようなものではないので,やはり
ホイヘンスの原理は、波動において普遍的な性質であると言えると理解したらいいでしょうか？
その辺が疑問に出てきました。
いずれにせよ、基本として,証明をきちんと理解するように努めたいと思います。