０÷０についての考え。

質問

０で割ることが不可能と決めた人は、なんで０÷０まで不可能としてしまったのだろうか。と疑問をもちました。

０÷０が不可能でなかった場合。

０＋０＝０より。

　　　　 ａ×(０＋０)＝ａ×０＋ａ×０
　　　　　　　　ａ×０＝ａ×０＋ａ×０
ａ×０＋{－(ａ×０)}＝(ａ×０＋ａ×０)＋{－(ａ×０)}
　　　　　　　 　　　０＝ａ×０＋[ａ×０＋{－(ａ×０)}]
　　　　　　　 　　　０＝ａ×０

ａに何が入っても成り立つので

　　　 ０×０＝０
(０×０)÷０＝０÷０
　０×０÷０＝０÷０
０×(０÷０)＝(０÷０)

０÷０をＹとおく。

　　　０×Ｙ＝Ｙ
　　　　　 ０＝Ｙ

Ｘ＝０÷０＝０　なので

０÷０＝０だけでも、０で割ることが可能な式があってもよかったんじゃないかなぁと。思ったのですよ。

ちなみに、
　 　０×Ｙ＝Ｙ
０×Ｙ÷Ｙ＝Ｙ÷Ｙ
　 　０×１＝１
となるからダメかと思いきや、この場合Ｙ＝０ならばＹ÷Ｙ＝０となるので大丈夫なんですよね。

この考え方のどこがおかしいから、０÷０はダメなのか、教えてください。
計算例など出していただいて、具体的に教えてくださると嬉しいです。

回答No.5

nontitti · ベストアンサー

「0÷0=0」としてはいけないのは、÷0が認められていないから。と答えます。

0÷0＝０が駄目の前に、何故、0で割ってはいけないかの方がはるかに難しい気がします。
こんな例はどうでしょう？
∞÷∞＝１もしくは、∞÷∞＝∞
これは違和感ありますよね？

あなたが示した一連の式は0÷0を認めたものです。しかし、実際は認めていません。具体的に計算式で答えられないことに気付くことこそが、ゼロに迫る第一歩だと思います。
ゼロに関しては、こんな疑問もあります。
（１）0/0を、a/0と同じように考えると、分子がゼロなのだから解もゼロになるはずではないか、と思いますが結局分母は０を認めないので不可。
（２）次に、分母と分子が同じ値なのだから1/1や 2/2と同じように1になるのではないか、と思いますが、前の回答者の方も指摘していますが、不定形で不可。
（３）分母を極限(lim)でゼロに近付けた場合を考えて、無限大になるのではないか、しかし、０/∞も不定形で不可。
　結局、いろいろな考えを試して、式で表現していっても、上手く行きません。というか、式で数量として表現できないのです。なぜなら、もともと、ゼロとは”数量として認識できない「無」という状態”を、数として定義して、計算可能としているのですから、式で書いていて不思議に感じるのは当然です。

冒頭に書いたように、∞/∞も1ではないですよね。なぜって、∞は数ではなく無限に大きいという状態を表す記号です。これと同様にと断言しては不適切かもしれませんが、ゼロも普段われわれが利用している数字として、あたかも定量的に表現された意味と、”無い”という状態を意味する二面性を持っています。
　だから、数学の問題などを解いていると、ゼロを別格で扱う場面に結構出くわすのです。
ゼロと無限は、本当に不思議な存在なのです。特にゼロは無限とは違って普段も利用するだけに、身近でありながら、とても不思議な存在なのです。
1-1=0に出てくる0は、四則演算の体系から容易に理解でますし、直感とも合致するでしょう。しかし、ゼロで割れないことは、数学の分野でいえば、集合論、もっと言えば論理学ベースになります。他、実数の公理などの理解が必要になります。このゼロで割ってはいけないことは、奥深いのです。
あたなの、疑問に本質的に答えるのは、非常に難しいのです。

お礼

回答してくださってありがとうございます。

とても詳しく教えてくださって、本当に参考になりました。
もっともっと、０のことを調べてみたいと思います。

回答No.6

flw

既出のとおり、０÷０は不定です。
０÷０を０と決めるというのは事実でなくて、仮定の話でしかありません。

仮に０÷０＝０とします（これは仮定）
０×０＝０（これは事実ですよね）
この場合は、０＝０÷０と言えます。

でも
０×３＝０（これも事実です）
この式から、３＝０÷０という結果も得られて仮定とは矛盾するわけです。

つまり、事実を積み上げていくのが科学であるならば、０÷０は「不定」にしかならないわけです。

お礼

回答してくださってありがとうございます。

０という数字の奥深さを改めて認識しました。
数学者が突き詰めていった結果が「０は不定」なんですよね。
理解したいと思います。

回答No.4

sameid

単に『０の割り算』は説明が面倒なので触れないだけです。
０÷０をひっ算で解いてみてください
何でも答えになっちゃいます。
これを「不定」と呼ぶわけです。

お礼

回答してくださってありがとうございます。

でもやはり、０÷０の答えはなにやらいっぱいでてしまうので、「０÷０＝０」と統一してしまわなかったのはなんでなんだろうなぁ、と思ってしまいました。

回答No.3

yoshi170

#2です。具体的にですね。

６÷３＝２　６＝３×２
この数式を見れば分かりますが、割り算は掛け算の逆算なのです。

３÷０＝ａとすると、逆算ですから、３＝０×ａとなります。ａを満たすものがありませんので、計算不能ということになります。

次に０÷０＝ａとします。逆算ですから、０＝０×ａとなります。ａにはどんな数が入っても成立します。したがって解が定まらず、「不定」と表されるのです。

お礼

回答してくださってありがとうございます。

「不定」でしたね。すみません。
不可能という言い方はおかしかったです。

ただ、まだ疑問なのが、「０÷０＝０」として、定めちゃダメだったんでしょうか？
すごく幼稚な疑問かもなのですが・・・。

回答No.2

yoshi170

０÷０は不可能ではありません。解が定まらないのです。ですので「不定」と表現します。

回答No.1

noname#30727

私には難しい証明はできませんが

ａ÷ａ＝１
ですが、ａが０のときだけ
０÷０＝０
となるのが矛盾するからではないでしょうか。

お礼

回答してくださってありがとうございます。

でも、０÷０だけ例外として０とする、のではダメだったのかなぁと思ったのです。