三角比？の問題（高１

質問

ある三角形ＡＢＣにおいて、ＢＣ、ＡＣ、ＡＢを
それぞれa、b、cとする。∠Ｃ＝３０°のとき、
ｃ/a+bのとり得る値の範囲を求めよ。

この問題がサッパリ解けません。どうやって解いたら
いいのでしょうか？
答えはたぶん、『1/√6+√2≦c/a+b＜１』ではないかと
思うのですが答えの導き方がわかりません。

回答No.2

postro · ベストアンサー

余弦定理より
c^2=a^2+b^2-2abcos30=a^2+b^2-√3ab=(a+b)^2*((a^2+b^2-√3ab)/(a^2+b^2+2ab))
ここで 0＜a^2+b^2+2ab≦2(a^2+b^2)
また　a^2+b^2-√3ab≧(a^2+b^2)(1- (√3)/2)＞0 相加平均相乗平均の関係より
したがって
c^2=(a+b)^2*((a^2+b^2-√3ab)/(a^2+b^2+2ab))≧(a+b)^2*(1- (√3)/2)/2=(a+b)^2*(2-√3)/4
したがって
c^2/(a+b)^2≧(2-√3)/4
すなわち
c/(a+b)≧(√6-√2)/4
c/(a+b)＜１ の条件を含めて
1＞c/(a+b)≧(√6-√2)/4
けっこうややこしかったです。
もっといい方法があるのかもしれません。
みなおしてください。

お礼

回答ありがとうございました！
今日数学の先生がやっと解説してくれたんですが、
なんでも『相似な三角形なら３辺の比の値？（つまり、ｃ/a+b）は等しい』ことを利用して
ｃ＝１とおいてしまうと楽だそうです。

回答No.1

eatern27

確認ですが、c/(a+b)の範囲ですよね？

＞答えはたぶん、『1/√6+√2≦c/a+b＜１』ではないかと
一番左の項が1/(√6+√2)という意味ならあっていますね。

ヒントは正弦定理です。(習ってますよね？)
a,b,cをそれぞれ、∠A～∠Cと三角形ABCの外接円の半径Rで表してみましょう。

お礼

正弦定理＞はい、習ってます。Ｒで表すのか・・・やってみますね。
回答ありがとうございました！