２つの集団の平均の差

質問

皆さん、お世話になっております。
２つの集団１組、２組にテストを行なった結果、平均点と標準偏差がそれぞれ、１組　x~ ,sx ,２組　y~ ,sy,だったとします（x~,y~はx,yそれぞれの上に横線を引けないので、その代用です。x~>y~。）。
「μx-μyの推定値が１以下になる確率を0.95とするには、各組から同じ大きさの標本をとるとして、何個とればよいか」、と言う問題について教えてください。
(1)x~,y~とμx,μyの違いが今一つわかりません。μといえば母集団の平均だと思うのですが、この場合は？
(2)平均値の差の標準偏差σ(x~-y~)={(σx^2)/nx+(σy^2)/ny}^(1/2)を使用すると思うのですが、その先に進めません。
宜しくお願い致します。

回答No.1

Rossana

これは集団の大きさnがn≫0ということで中心極限定理よりX~={X_1+X_2+…+X_(n_x)}/n_xは
正規分布N(μ_x, σ_x^2/n_x)に従い，Y~={Y_1+Y_2+…+Y_(n_y)}/n_yは正規分布N(μ_y, σ_y^2/n_y)に従っているものと考えて計算していく事にします．

(1)x~，y~は標本平均の確率変数X~,Y~の実現値だと思います．
＞μといえば母集団の平均だと思うのですが、この場合は？
その通りです．
実際にサンプルをいくつか取り出してみたものの平均（標本平均）とすみからすみまで全部を取り出したものの平均（母平均）という違いでしょう．
(2)おっしゃられる通りそれを使えばいいと思います．で何を使うの？って感じだろうと思いますが，
X~:正規分布N(μ_x, σ_x^2/n_x)に従う．
Y~:正規分布N(μ_y, σ_y^2/n_y)に従う．
のとき，
X~-Y~:正規分布N(μ_x-μ_y, σ_x^2/n_x+σ_y^2/n_y)に従う．
ということを使えばよいと思います．
ですから，
T={X~-Y~-(μ_x-μ_y)/√(σ_x^2/n_x+σ_y^2/n_y)は標準正規分布N(0,1)に従います．
「各組から同じ大きさの標本をとるとして」ということなので，n_x=n_y=nとして
T={X~-Y~-(μ_x-μ_y)/√{(σ_x^2+σ_y^2)/n}
「μx-μyの推定値が１以下」
μ_x-μ_y≦1
-(μ_x-μ_y)≧-1
実現値x~, y~より
x~-y~-(μ_x-μ_y)≧x~-y~-1
t≧(x~-y~-1)/√{(σ_x^2+σ_y^2)/n}
あとは標準正規分布の確率分布表から95%の境界のtの値を読み取れば上式で
既知数：t,x~,y~
未知数：σ_x,σ_y,n
となります．ここはちょっと怪しい所なのですが，
σ_x^2/n_x=s_x^2, σ_y^2/n_y=s_y^2ということとさらに仮定すればσ_x=ns_x^2, σ_y=ns_y^2
で
t≧(x~-y~-1)/√{n(s_x^2+s_y^2)}
となって未知数はnだけになり求めることができます．
結構自分の知っている知識を使って適当に考えただけなので，間違っているかもしれません．参考程度にお願いします．

補足

返信が遅くなり、もうしわけございません。
回答いただきありがとうございます。
参考にさせていただき、手元の問題を解こうとしていたのですが、私の見かたが間違っているのか、うまく解答にたどり着けません。もしよろしければ、さらなる助言をいただけないでしょうか。
手元の問題の具体的な数値は、
x~=73.4 ,y~=70.1 ,sx=8 ,sy=10 ,１組２組とも１００名で、解答はn=656　となっていました。各１００名の組なのに、n=656というのも意味がよくわかりませんが。