ゲーム理論の問題

質問

以下の問題の解説お願い頂きたいです

回答No.3

statecollege

もしかしてNo1で用いたクーン＝タッカー条件がわからない？いま、簡単な1変数関数f(x)を最大化する問題を考えてみよう。xが実数全体をとるなら、1階の条件は
f'(x)=0
となるので、微分してゼロとなるｘを見つければよい。しかし、ｘが非負、つまりx≧0に限定されている場合はどうか？そのときの1階の条件は
f'(x)≦0
かつ
xf'(x)=0
となる。2番目の条件を相補性条件（comlementary slackness condition)という。別の書き方では1階の条件は
f'(x)≦0、x > 0ならば等号が成立
となる。No１では後者の書き方を用いた。2つの書き方が同値であることを確かめなさい。

回答No.2

statecollege

No1の訂正。
企業１と２の最適反応はNo1で求めたように

C1+C2≧１　ただし、C1>0なら等号
C1+C2≧1/4 ただし、C2>0なら等号となる。

とあらわされる。これらを満たすC1とC2の組（C1,C2)がナッシュ均衡だ。候補として、まず、(C1,C2)=(1,0)を求めた。これらは明らかに上の2つの不等式を満たす、よってナッシュ均衡だ。しかし、もう一つの候補(C1,C2)=(0,1/4)はどうか？この組は2番目の不等式を満たすが、1番目の不等式を満たさない。よってこの同時手番ゲームのナッシュ均衡ではない。両不等式を満たすC1とC2の組は(1,0)しか存在しない。よって、これが唯一の（純粋戦略）ナッシュ均衡だ。
つぎに、企業1が先手番だとすると、企業１のC1選択問題は企業２が最適反応C1+C2≧1/4（ただし、C2>0ならば等号が成立）にしたがってC2の値を選択することを知って自らの効用（つまりu1)を最大化することだ。いま、企業１がC2>0を選択すると予想したとする。そのときは、C1+C2=1/4が成り立つように企業２はC2を選択するので、企業１の効用は
u1=2√(C1+C2) - C1 = 2√(1/4) - C1 = 1 - C1
となるので、企業１の効用はC1=0のとき最大となる。よって、企業１はC1=0を選択し、企業2はC2=1/4 - 0 = 1/4を選択することになるだろう。
では企業１は企業２がC2＝０（つまり、企業２のC2は正でない、つまり０ということ）を予想したらどうか。この時は企業１の効用
u1 = 2√(C1+C2) - C1= 2√C1 - C1
はC1＝１のとき最大化される(確かめよ）。よって、C1=1を選択するだろう。このとき、C1+C2= 1+ 0 = 1 >1/4となり、企業２の最適反応条件を満たしている。企業１がC1=0を選択したときと、C1=1を選択したときのu1(つまり企業１の効用）を比べてみよう。簡単に計算できるように、企業１はC1の値を０と選んでも、1と選んでも、u1=1と、同一になることがわかる（確かめてください）。サブゲーム完全均衡は先手番の企業１がC1＝0、後手番の企業2がC2＝1/4を選択する場合と、先手番の企業１がC1＝１を選択し、後手番の企業2がC2＝０を選択する場合の２つがあることになるだろう。

回答No.1

statecollege

C1,C2は非負で、少なくともいずれかがゼロの値をとる可能性があるのでクーン・タッカー条件を用いて最適反応関数を求める。
0≧∂u1/∂C1=1/√(C1+C2) - 1 ただし、C1>０なら等号が成り立つ
0≧∂u2/∂C2=1/(2√(C1+C2)) - 1 ただし、C2>0なら等号が成り立つ
整理すると
C1+C2≧１　ただし、C1>0なら等号
C1+C2≧1/4 ただし、C2>0なら等号となる。
・いま、C1＞０とすると、第1番目の不等式は等式となるので、
C1+C2 = 1
さらに、C2＞０だとすると、第2番目の不等式も等式となるので
C1+C2 = 1/4
となり、矛盾。したがって、C1＞０ならば、C2=0でなければならない。よって第1番目の式からC1＝１ 。
・いま、C2 >0としてみよう。すると、上の議論から2番目の不等式が等式となるが、このときC1=0が成り立つので（なぜ？）、2番目の等式を用いて、C1=0, C2=1/4となる。よってナッシュ均衡は２つある。
一つは(C1,C2)=(1,0)であり、もう一つは(C1,C2)=(0,1/4)である。
　次の問題、企業1が先手番だったらどうする？企業１はC1の値としていくつを選択する？答えを書くと、企業1はC1＝０を選択する。後手番の企業2はC2=1/4を選択せざるをえない。つまり、企業1は公共財の生産の負担を全部企業2に負わせることができるが、公共財の供給も1/4と、小さい値となる。