双子素数の無限性について
以下のような証明を作ってみました。
この問題が数学史上未解決の難問であることは知っているので、必ず
どこかが間違っているのでしょうが、自分で作っておいてなんですけど、
どこが間違っているのかすら理解できませんでした。（馬鹿）
誰かどこかが間違っているか、なるべくわかりやすく指摘してもらえない
でしょうか？
証明
ある3*10^n乗という数について考える。
双子素数は有限で、この素数以降には双子素数は存在しないものと
仮定する。
数直線上の3*10^n乗の点を0とすると、これ以降の素数の出現は、
＋1,＋7,＋11,＋13,＋17……のように今までの素数と、1を足した場所で、
素数となる可能性のある点が出現する。
これのうち双子素数となる可能性のある点は、全てどちらかがそれ以
前に登場した2,3,5を除く二つ以上の素数の積でなければならない。
どちらも素数であるとすると、双子素数が存在しないという前提に反する
からである。
双子素数のうち一つにつき、その点が何らかの素数の積であるために
は、それぞれ異なる素数が二つずつ必要になる。
また、これは3*10^n乗以前に存在した素数でなければならず、2,3,5の
倍数でもない。
そして、一つとして同じ素数を使ったペアは存在しない。
例えば、
3*10^n乗＋11がa*bという素数の積であったとき、
3*10^n乗＋17がaの積もしくはbの積であることは絶対にない。
こうして6*10^n乗未満の範囲で、3*10^n乗の一つ以前まで全ての素数
を足していくと、双子素数の点を否定するために使う素数は、
あらわれるかもしれない双子素数の総数*2となる。
ではここで双子素数の点を否定するために使える素数の組み合わせに
ついて考えてみる。
(1)
まず、この範囲内のいずれか一点を否定するには、6*10^n乗までの数に
収まる必要がある。
それよりも一つ上の素数と組み合わせると6*10^n乗を上回ってしまう限界
値をpとする。
この上に存在する素数は全て、このpの範囲内の数との組み合わせでしか
6*10^n乗までの範囲内の素数の積になることはできない。
つまり、この限界値pまでの素数の2倍以上の組み合わせはありえない。
（実際に最小と最大同士を組み合わせていくと一定以上に大きい数にしか
ならないので、組み合わせることのできる組数は必ずこれより小さくなる）
母数を2倍した場合、pの1,6倍付近が次の限界値p2となり、やはりそこ
までの素数の数*2が組み合わせの最大値である。
(2)
いかなる素数を組み合わせても6*10^n乗を上回ってしまう組み合わせ
しかなくなり、それがまだ双子素数としてあらわれる可能性のある点の
総数を超えていなければ、必ず双子素数の数は増加する。
言い換えると、
限界値pまでの素数の個数＜双子素数としてあらわれる可能性のある点の総数
であると、双子素数は必ず増加する。
(3）
これが3*10^n乗で、
限界値pxまでの素数の個数＞双子素数としてあらわれる可能性のある点の総数
であった場合、双子素数は増加するとも、増加しないともいえない。
双子素数が有限であることを前提にすると、3*10^n乗以降の双子素数として
あらわれる可能性のある点は、全てどちらか一方が素数でないことは確かで
ある。
では6*10^n乗以降の場合はどうか？
3*10^n乗の範囲で、a*bで否定された素数を2倍すれば絶対に偶数、つまり
2の倍数になる。
つまり、次の範囲では絶対に同じ組み合わせを使うことができないので、増え
た限界値px2の範囲内で、新たに異なる組み合わせを見つけてくる必要がある。
・11*7 11*89のように一方が同じ組み合わせは使える可能性はある。
そして、同じように、
12*10^n乗
24*10^n乗
と無限に繰り返す。
母数を2倍しても限界値px2までの素数の個数は当然に増加しない。
px2はpの1,6倍程度の位置に存在するからである。
（n<2nの間にならば、最低でも1の素数が含まれているが、この場合組み合わせ
として使える素数が増えることも確実ではない）
途中で登場した組み合わせは全て2の倍数になっていくので、同じ組み合わせは
二度と使えない。
従って使える組み合わせは、必ず一定数減り続ける。
そのため、これを無限に繰り返せば、いつか限界値pxまでの素数の組み合わせ
では絶対に否定できない点があらわれるはずである。
そこは必ず双子素数となる。
以上により、3*10^n乗以降でも、双子素数は必ず増加する。
これは双子素数が有限であるという前提と矛盾する。
よって、双子素数は無限である。
お礼