【積分】

質問

この問題の途中式を教えてください！
答え 2aloga-3a+e+1

回答No.1

kiha181-tubasa

この定積分の計算だけの問題なら，３通り程のａの場合分けが必要になるのですが，質問にあるような計算結果になるのでしたら，1≦a≦eの条件が付いていませんでしたか。
この条件で計算しましょう。

1≦a≦eであるから，0≦loga≦1
（つまり，積分区間[0.1]の間にlogaがある）
（さらにe^x-a≧0⇔e^x≧a⇔x≧logaに注意してください）
0≦x≦logaにおいてe^x-a≦0だから，|e^x-a|=-(e^x-a)
loga≦x≦1においてe^x-a≧0だから，|e^x-a|=e^x-a
以上の事から
∫<0→1>|e^x-a|dx
=∫<0→loga>(-(e^x-a))dx+∫<loga→1>(e^x-a)dx
=[-e^x+ax]<0→loga>+[e^x-ax]<loga→1>
=-e^(loga)+aloga-(-1)+e-a-e^(loga)+aloga
=-a+aloga+1+e-a-a+aloga
=2aloga-3a+e+1
となります。