確率

質問

AがBから独立し、AがCから独立し、B n C= O（空集合）であれば、AはB U Cから独立することを示せ。

答えが手元にないので回答解説していただけたら幸いです

回答No.2

totokromo

与えられた条件により、以下のような関係が成立します。

P(A ∩ B) = P(A)P(B) 　・・・式1
P(A ∩ C) = P(A)P(C) 　・・・式2
B ∩ C = ∅ 　　　　　 ・・・式3

AがB U Cから独立していることを示すためには、以下が成立することを示せば十分です。

P(A ∩ (B U C)) = P(A)P(B U C)

左辺を展開すると、

P(A ∩ (B U C)) = P((A ∩ B) U (A ∩ C)) 　・・・式4

となります。ここで、式1と式2を用いると、

P((A ∩ B) U (A ∩ C)) = P(A ∩ B) + P(A ∩ C) - P((A ∩ B) ∩ (A ∩ C))

となります。また、式3より、

P((A ∩ B) ∩ (A ∩ C)) = P((A ∩ B) n C) = P(∅) = 0

です。これを式に代入すると、

P((A ∩ B) U (A ∩ C)) = P(A ∩ B) + P(A ∩ C)

となります。式1と式2を代入すると、

P((A ∩ B) U (A ∩ C)) = P(A)P(B) + P(A)P(C)

です。さらに、B U Cの確率は、式3より、

P(B U C) = P(B) + P(C)

となります。これを代入すると、

P((A ∩ B) U (A ∩ C)) = P(A)P(B U C)

となります。つまり、AはB U Cから独立していることが示されました。

回答No.1

pfarm

AがBとCから独立であるということは、以下の式が成り立ちます。

P(A ∩ B) = P(A) * P(B)

P(A ∩ C) = P(A) * P(C)

また、BとCが互いに素であることから、BとCの和集合の確率は、次のようになります。

P(B U C) = P(B) + P(C)

ここで、AがB U Cから独立することを示すためには、以下の式が成り立つ必要があります。

P(A ∩ (B U C)) = P(A) * P(B U C)

左辺の式を展開すると、

P(A ∩ (B U C)) = P((A ∩ B) U (A ∩ C))

となります。ここで、AがBから独立であることから、A ∩ B = A * P(B)です。同様に、AがCから独立であることから、A ∩ C = A * P(C)です。

これらを代入すると、

P((A ∩ B) U (A ∩ C)) = P(A * P(B) U A * P(C))

= P(A * (P(B) + P(C)))

= P(A * P(B U C))

= P(A) * P(B U C)

となります。したがって、左辺の式と右辺の式が等しいことから、AがB U Cから独立であることが示されました。