- ベストアンサー
素数に関する証明の手掛かりがわかりません。
77tetsuya77の回答
- 77tetsuya77
- ベストアンサー率52% (12/23)
まず、３つの連続する正の奇数を a、a+2、a+4 としましょう。 このとき、a が 3 の倍数であるとき、a+3 が必ず 3 の倍数になるため、a、a+2、a+4 のうち少なくとも 1 つは 3 の倍数となり、素数ではありません。したがって、a は 3 の倍数ではない必要があります。 同様に、a が 5 の倍数であるとき、a+5 が必ず 5 の倍数になるため、a、a+2、a+4 のうち少なくとも 1 つは 5 の倍数となり、素数ではありません。したがって、a は 5 の倍数ではない必要があります。 また、a が 7 の倍数であるとき、a+7 が必ず 7 の倍数になるため、a、a+2、a+4 のうち少なくとも 1 つは 7 の倍数となり、素数ではありません。したがって、a は 7 の倍数ではありません。 以上の条件を満たす a は、3, 5, 7のいずれかであることがわかります。したがって、3つの数がすべて素数であるものは、3、5、7に限定されます。
関連するQ&A
- 数学の問題（連続する数の証明）について
中3の女子です。 数学の問題で分からないことがあったので質問します。 「連続する3つの奇数において、最も大きい奇数と真ん中の 和の2乗から最も小さい奇数と真ん中の奇数の和の２乗を ひいた差は、16でわり切れる」 ことの証明を下記に完成しなさい。 （証明） 整数ｎを使って、最も小さい奇数を2ｎ-1とする。 この問題の解き方が分かんないので、教えてください。 おねがいします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- この証明は間違いですか・・・？
【問】 次の命題を証明せよ。 整数aについて、a^2が奇数ならばaは奇数である。 模試でこれを解いたのですが、不正解になりました。 模範解答は別の証明の仕方だったので、どこが間違っているのかわかりません。教えてください。 aが偶数であると仮定する。すると、aは自然数nを使って、 a=2nと表せる。 a^2=(2n)^2だから、 a^2=4a^2 a^2=2(2a^2)となり、a^2は奇数であると言うことに矛盾する。 よってa^2が奇数ならばaは奇数である。 と書いたのですが・・・
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 自然数の証明・・・？
自然数a,b,c,について等式a^2+b^2=c^2をみたし、かつa,bは互いに素とする。以下を証明せよ。 １）aが奇数の時、bは偶数且つCは奇数である。 ２）aが奇数の時、a+c=2d^2となる自然数dが存在する １）はaが奇数だからa=2m+1とおいて、・・・ていうさいしょのだんかいで進まなくなりました。 解法のほどをよろしくおねがいします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 「3桁の自然数」 →0は自然数？
百の位、十の位、一の位のうち、いずれかは偶数であるような3桁の自然数の中で、各位の数の和が奇数であるものは幾つあるか。 模範解答 百の位、十の位、一の位のうち、1つの位だけが奇数で、他の2つの位は偶数である。 そのような場合には、次の[1]～[3]がある。 [1] 一の位が奇数、他の位が偶数のものについて 百の位は2, 4, 6, 8の4通り 十の位は0, 2, 4, 6, 8の5通り ←0？？？ 一の位は1, 3, 5, 7. 9の5通り よって、4×5×5=100個 [2] ： ・・・と続くのですが、 こういう類の問題で「3桁の自然数」と言った場合、 その範囲は100～999ですか？ 最上位の位以外なら0が含まれていてもいいんですか？ 自然数の定義は「0を含まない」ですよね？ ←確認 ですから、「3桁の自然数」と言った場合、 それぞれの位は1～9までの数で構成されるべきじゃないんですか？ 特に今回は、それぞれの位が偶数か奇数かという話をしているので 各位も自然数なのかと思いました。 100や510が自然数なのは承知しています。 でも、この問題の書き方が曖昧に思えてなりません。 どうか私を納得させて次から間違えないようにさせて下さい。お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 素数。御教授下さい。
設問 素数は無限に存在するか？ 証明 縦横11の升目を持つ平方升に、左下から上に順に、1,2,3,~11,次の列も下から上に、12,13,14,~22,という様に、全ての升目を自然数で埋めつくした平方升、表-1に付いて考察してみる。左側の1～11までの縦の列を、エリアA、それ以外の列、12~121までの列をエリアBと呼ぶ事にする。 表―1 11 22 33 44 55 66 77 88 99 110 121 10 21 32 43 54 65 76 87 98 109 120 9 20 31 42 53 64 75 86 97 108 119 8 19 30 41 52 63 74 85 95 107 118 7 18 29 40 51 62 73 84 95 106 117 6 17 28 39 50 61 72 83 94 105 116 5 16 27 38 49 60 71 82 93 104 115 4 15 26 37 48 59 70 81 92 103 114 3 14 25 36 47 58 69 80 91 102 113 2 13 24 35 46 57 68 79 90 101 112 1 12 23 34 45 56 67 78 89 100 111 エリアBに素数があるかどうかを考えて見る。 エリアAに入った奇数（１を除く。）を、全て素数と仮定する。偶数は素数に成れないので最初に、エリアBを3で割って見る。 13/3 = 4 あまり 1 15/3 = 5 あまり 0 17/3 = 5 あまり 2 19/3 = 6 あまり 1 21/3 = 7 あまり 0 23/3 = 7 あまり 2 － － となりエリアBの奇数の2/3が3では割れない事が分かる。次に5で割って見ると 13/5 = 2 あまり 3 15/5 = 3 あまり 0 17/5 = 3 あまり 2 19/5 = 3 あまり 4 21/5 = 4 あまり 1 23/5 = 4 あまり 3 25/5 = 5 あまり 0 27/5 = 5 あまり 2 － － と成りエリアBの奇数の4/5が5では割れない事が分かる。7,9,11で割っても同様に成るので、エリアBに素数として残る個数は、 (121－11)/2×2/3×4/5×6/7×8/9×10/11 = 20.317 と成る。 次にエリアAに1～121を入れ、エリアBに122～14641を入れて同様のことをする。 123/3 = 41 あまり0 125/3 = 41 あまり2 127/3 = 42 あまり1 129/3 = 43 あまり0 131/3 = 43 あまり2 － － と成りエリアBの奇数の2/3が3で割れない事が分かる。5,7,9,～121 で割っても同様に成るので、エリアB に素数として残る個数は、 (14641－121)/2×2/3×4/5×6/7×8/9×10/11 ～ × 120/121 と成る。この分数の掛け算は団塊の世代としては大変なので、第2項から全ての分子から1をマイナスして書いて見ると、(エリアBに素数として1個以上残ればよいので。) (14641－121)/2×1/3×3/5×5/7×7/9×9/11 ～ ×119/121 と成り計算が非常に簡単になる。（以後この数列を使う。） (14641－121)/2×1/121 = 60 と成りエリアBに素数として60個以上ある事が分かる。 次にエリアAに1～14641を入れ、エリアBに14642～214358881を入れと 言う様に同様な操作を何回も繰り返して行った時、必ずそれぞれのエリアBに 素数が1個以上ある（残る）という考え方を積み重ねて、素数が無限に存在すると言う証明方法（？）を考えていますが、以後詰まっていますので証明方法 を、御教授下さい。又この様な確率的（？）な考え方は正しいのでしょうか？ 小生はピタゴラスの定理も忘れましたので、下げて易しく御教授下さい。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
誠にありがとうございます‼︎ 大いに参考にさせていただきます。