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自然数の証明・・・?
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解法その1:対偶を証明する 対偶が真なら元の命題も真 解法その2:背理法 結論を否定してみて、証明してみる。 頑張ってください><
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- aquarius_hiro
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A No.3 です。 すみません、ちょっと間違ってしまいました。 > a+c=2n+1+2L+1= 2 (n+L+1) = 2d^2 を示すには、 > > n+L+1 = d^2 を示せばよい。 > > c^2 - a^2 = b^2 > (c+a)(c-a) = b^2 > > より、(n+L+1)(L-n) = m^2 ここまで良いです。 その後、修正です。 まず、n+L+1 を素因数分解したときに 2乗の形にまとまる部分ををすべて d^2 とおき、残りの 因数を p とおきます。 n+L+1 = d^2 p d^2 p (L-n) = m^2 p (L-n) = (m/d)^2 より、 m/d = p t とおける。(tは自然数) 故に、m = ptd 故に、m^2 = p^2 t^2 d^2 = d^2 p (L-n) 故に、L-n = p t^2 ところで、n+L+1 = d^2 p なので、 a = 2n + 1 = (n+L+1) - (L-n) = pd^2-pt^2 = p(d^2-t^2) ところが、b = 2m = 2ptd なので、 これは p=1 でない限り、a と b が互いに素という仮定に矛盾。 故に、n+L+1 = d^2 と書ける。 故に、a+c = 2d^2 と書ける。 こんどこそあっていると思うのですが。
- koko_u_
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ちょっとだけ a と b は互いに素であるから、a と c も互いに素。 a + c と a - c が共通の素因数 p を持つとすると (a+c)+(a-c) = 2a と (a+c)-(a-c) = 2c も共通の素因数 p をもつ。 よって p = 2、たしかに a と c は今回奇数であるから 2 で割れて、 (a+c)/2 と (a-c)/2 は互いに素 仮定から両者を掛けると平方数 (b/2)^2 となるから、結局 (a+c)/2 と (a-c)/2 が平方数。 。。。しまった。チョーシこいて回答してもた。
- aquarius_hiro
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こんにちは。 > 1)aが奇数の時、bは偶数且つCは奇数である。 aが奇数なら、a^2 は奇数ですね。 もしもbが奇数としたら、b^2は奇数で、 その結果c^2は偶数。 故に、cは偶数、c=2c'とおけますね。(c'は自然数。) 故に、c^2 = 4c'^2 となりは 4の倍数になりますね。 ところで、a=2n+1、b=2m+1とすると、 a^2+b^2=4(n^2+n+m^2+n) + 2 になりますので、 c^2が4の倍数になることと矛盾します。 これは b^2 を奇数としたためです。 故に、aが奇数のときには、bは偶数でcは奇数になります。 > 2)aが奇数の時、a+c=2d^2となる自然数dが存在する いま、aが奇数のとき、bが偶数、cが奇数が示されたので、 a=2n+1, b=2m, c=2L+1 とおきます。 a+c=2n+1+2L+1= 2 (n+L+1) = 2d^2 を示すには、 n+L+1 = d^2 を示せばよい。 c^2 - a^2 = b^2 (c+a)(c-a) = b^2 より、(n+L+1)(L-n) = m^2 m×m の因子として n+L+1 が含まれなければならない。 もし n+L+1 = d^2 と書けないとすると、 m の因子として n+L+1 が含まれなければならない。 故に、m=(n+L+1)t とおける。(t は自然数) このとき、 (n+L+1)(L-n) = m^2 = (n+L+1)^2 t^2 故に、 L-n = (n+L+1) t^2 > n+L+1 > L-n より矛盾。 故に、n+L+1 = d^2 と書ける。 故に、a+c = 2d^2 と書ける。
お礼
ご回答アリガトウございます。 m×m の因子として・・・以下が少しわかりにくいのですが・・・ 因子というのは・・?
- tinantum
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(1)について a=2m+1(m=0,1,…)と置くと 4(m^2 + m) + 1 + b^2 = c^2 … (1) を得ますね. [I] bが奇数だと仮定してみます. すると,b=2l+1 (l=0,1…)と同様に置くと,(1)より 4(m^2 + m + l^2 + l) + 2 = c^2 を得ます.左辺は2で割り切れるので,cが奇数では矛盾してしまいます.ところが,cは偶数だとしても,c=2k (k=0,1,…)と置くと, 4(m^2 + m + l^2 + l) + 2 = 4k^2 となって,両辺を2で割って移行すると, 2(k^2 - m^2 - m - l^2 - l) = 1, ところが,左辺は偶数で,右辺は奇数となって,やはり矛盾します. 背理法より,bが偶数であると結論されます. よってb=2l(l=0,1,…)とおきます.すると(1)より 4(m^2 + m+ l^2) + 1 = c^2 を得ます.ここで,cが偶数であると仮定,すなわち,c=2kと置くと, 4(m^2 + m+ l^2) + 1 = 4k^2 となって,やはり 4(k^2 - m^2 - m- l^2) =1 (左辺偶数,右辺奇数) で矛盾します.よって背理法よりcは奇数となります.
お礼
わかりやすいご解答ありがとうございます。
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アリガトウございます。