素数は無限に存在するか？
- 縦横11の升目を持つ平方升に、自然数で埋められた表-1について、エリアBに素数が存在するか考察する。
- エリアBの奇数の割り切れない割合から、エリアBには20個以上の素数が存在することが分かる。
- また、操作を繰り返していくと、エリアBには60個以上の素数が存在することが示されるが、厳密な証明方法は不明である。
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素数。御教授下さい。
設問 素数は無限に存在するか？ 証明 縦横11の升目を持つ平方升に、左下から上に順に、1,2,3,~11,次の列も下から上に、12,13,14,~22,という様に、全ての升目を自然数で埋めつくした平方升、表-1に付いて考察してみる。左側の1～11までの縦の列を、エリアA、それ以外の列、12~121までの列をエリアBと呼ぶ事にする。 表―1 11 22 33 44 55 66 77 88 99 110 121 10 21 32 43 54 65 76 87 98 109 120 9 20 31 42 53 64 75 86 97 108 119 8 19 30 41 52 63 74 85 95 107 118 7 18 29 40 51 62 73 84 95 106 117 6 17 28 39 50 61 72 83 94 105 116 5 16 27 38 49 60 71 82 93 104 115 4 15 26 37 48 59 70 81 92 103 114 3 14 25 36 47 58 69 80 91 102 113 2 13 24 35 46 57 68 79 90 101 112 1 12 23 34 45 56 67 78 89 100 111 エリアBに素数があるかどうかを考えて見る。 エリアAに入った奇数（１を除く。）を、全て素数と仮定する。偶数は素数に成れないので最初に、エリアBを3で割って見る。 13/3 = 4 あまり 1 15/3 = 5 あまり 0 17/3 = 5 あまり 2 19/3 = 6 あまり 1 21/3 = 7 あまり 0 23/3 = 7 あまり 2 － － となりエリアBの奇数の2/3が3では割れない事が分かる。次に5で割って見ると 13/5 = 2 あまり 3 15/5 = 3 あまり 0 17/5 = 3 あまり 2 19/5 = 3 あまり 4 21/5 = 4 あまり 1 23/5 = 4 あまり 3 25/5 = 5 あまり 0 27/5 = 5 あまり 2 － － と成りエリアBの奇数の4/5が5では割れない事が分かる。7,9,11で割っても同様に成るので、エリアBに素数として残る個数は、 (121－11)/2×2/3×4/5×6/7×8/9×10/11 = 20.317 と成る。 次にエリアAに1～121を入れ、エリアBに122～14641を入れて同様のことをする。 123/3 = 41 あまり0 125/3 = 41 あまり2 127/3 = 42 あまり1 129/3 = 43 あまり0 131/3 = 43 あまり2 － － と成りエリアBの奇数の2/3が3で割れない事が分かる。5,7,9,～121 で割っても同様に成るので、エリアB に素数として残る個数は、 (14641－121)/2×2/3×4/5×6/7×8/9×10/11 ～ × 120/121 と成る。この分数の掛け算は団塊の世代としては大変なので、第2項から全ての分子から1をマイナスして書いて見ると、(エリアBに素数として1個以上残ればよいので。) (14641－121)/2×1/3×3/5×5/7×7/9×9/11 ～ ×119/121 と成り計算が非常に簡単になる。（以後この数列を使う。） (14641－121)/2×1/121 = 60 と成りエリアBに素数として60個以上ある事が分かる。 次にエリアAに1～14641を入れ、エリアBに14642～214358881を入れと 言う様に同様な操作を何回も繰り返して行った時、必ずそれぞれのエリアBに 素数が1個以上ある（残る）という考え方を積み重ねて、素数が無限に存在すると言う証明方法（？）を考えていますが、以後詰まっていますので証明方法 を、御教授下さい。又この様な確率的（？）な考え方は正しいのでしょうか？ 小生はピタゴラスの定理も忘れましたので、下げて易しく御教授下さい。
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(121－11)/2は奇数の個数 (121－11)/2×2/3は奇数で３で割り切れない数の個数 (121－11)/2×4/5は奇数で５で割り切れない数の個数 (121－11)/2×6/7は奇数で７で割り切れない数の個数 (121－11)/2×8/9は奇数で９で割り切れない数の個数 (121－11)/2×10/11は奇数で１１で割り切れない数の個数 では、なぜ(121－11)/2×2/3×4/5×6/7×8/9×10/11が素数の数と言い切れるのでしょうか。 もし、奇数、奇数で３で割り切れる数、奇数で５で割り切れる数、・・・・がすべてダブらないでエリアBの中に入っていたと仮定すると、その合計は、 (121－11)/2×(1+1/3+1/5+1/7+1/9+1/11)=103.3 よって、2,3,5,7,9,11で割り切れない数の個数は6個以下になります。 エリアBを122～14641にすれば、 (14641－121)/2×(1+1/3+1/5+1/7+1/9+1/11+1/13+1/15+1/17+・・・+1/121) はエリアBの個数を超えてしまいます。 実際はダブりがあるから、(121－11)/2×2/3×4/5×6/7×8/9×10/11が素数の数になるんでしょうけど、そのダブり具合をきちんと検証しないと証明したことにはならないでしょう。
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- Water_5
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(14641－121)/2×1/121 = 60 と成りエリアBに素数として60個以上ある ----------------------------------------------- に於いて、（X-Y）/２ｘ1/Y＝？において 必ず正数となるので、必ず一個以上存在することは 成立するのでは？ つまりは無限個存在する。
お礼
回答ありがとうございました。 左側からも眺めて見るということが、足りませんでした。
- alice_44
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エリア B に 15 があって、3 でも 5 でも割り切れる ことについては、どう考えていますか？
お礼
回答ありがとうございました。 カブル部分を、反対側から見ていませんでした。
補足
説明不足ですみません。 実際エリアBにはカブル数字が多々あると思いますが、 それぞれカブらず独立したものと、とらえています。 それは、エリアBに素数として１個以上残れば良いと 思いましたので。
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