数学の図形問題について🙇‍♂️

質問

ある私立高校の過去問なのですが、四角形ABCDの面積を求めよという問題で、模範解答は、△CBD＋△BADから面積を求めているのですが、△ABC＋△ACDから求めることは可能なのでしょうか？ちなみに、△CBDと△ABPは正三角形で、解答は16√3㎠です。

よろしくお願いします🤲

回答No.4

上野 尚人（@uenotakato） · ベストアンサー

Bから辺ACに垂線BHをおろす。∠BAH = 60° なので，三角形ABHは30° , 60° , 90° の直角三角形であり
BH = BA × (√3 / 2) = 5√3 / 2
よって
△ABC = (1/2) × AC × BH = 10√3

Dから辺ACに垂線DIをおろす。∠DAC = 60° なので，三角形ADIは30° , 60° , 90° の直角三角形であり
DI = AD × (√3 / 2) = 3√3 / 2
よって
△ACD = (1/2) × AC × DI = 6√3

よって 10√3 + 6√3 = 16√3

回答No.8

staratras

No.7の誤記訂正です。

誤：四角形ABCD＝△EDA-△EDA
正：四角形ABCD＝△EBC-△EDA

回答No.7

staratras

四角形の分割はしないで、逆に外部に三角形を作り、大小2つの三角形の面積の差として求める解法です。

四角形の2辺BAとCDを延長し、交点をEとし、AE=x,DE=yとします。下の図のように△EBCと△EDAは2角がそれぞれ等しいので相似で、EA、ECを底辺としてみたときの高さはそれぞれ(7/2)√3と(3/2)√3です。

四角形ABCD＝△EDA-△EDA=1/2・（7+y)・(7/2)√3-1/2・x・(3/2)√3=（49/4)√3+（√3/4)(7y-3x)…（１）

△EBCと△EDAは相似だからy:3=(5+x):7 ∴7y=3x+15 …（２）

（２）を（１）に代入すると四角形ABCD＝（49/4)√3+（√3/4)(15)=(64√3)/4=16√3

回答No.6

nihonsumire

他の解き方を考えてみることは、素晴らしいです。しかし、何日かかっても、自力で解いて欲しいものです。アプローチの仕方を学んでいくと、入試に役立つばかりでなく、数学の楽しさも味わえます。
先に結論を言うと、△ABC+△ACDからでも求まります。
△ABCの面積は、APを底辺とすると△ABPの高さが出ます。すると△ABCは、AP：AC=5：8 から出ます。円周角の定理より、∠DAC=∠CBD=60°、BDとACの交点をQとすると、△ADQにおいて底辺AQとした高さが出る。よって、△ACDの面積が出ます。

回答No.5

staratras

No.2です。ヘロンの公式云々は蛇足でしたね。蛇足ついでに「別解」を一つ。

その前に、1辺の長さがaの正三角形の面積は、2等分して2:1:√3の直角三角形に分ければ（√3/4）a^2と求められます。1辺が７の正三角形BCDは（49/4)√3、1辺が５の正三角形BPAは(25/4)√3 です。

ところで四角形ABCD=正三角形BCD+△BDAですが、下の図からBPとADは平行（錯角が等しい）です。
したがって△BDAと正三角形BPAは高さが同じで、底辺が△BDAは3、正三角形BPAは5なので
△BDAの面積は正三角形BPAの面積の3/5で(25/4)√3 ×3/5=(15/4)√3

ゆえに四角形ABCDの面積は（49/4)√3+(15/4)√3=16√3

回答No.3

f272

cos角ABC=cos角ADC=(8*8-7*7-5*5)/(-2*5*7)=1/7だから
sin角ABC=sin角ADC=√(1-1/49)=(4/7)√3となって
△ABC=(1/2)*5*7*(4/7)√3=10√3
△ACD=(1/2)*3*7*(4/7)√3=6√3
ですから、足せば16√3になります。

回答No.2

staratras

＞△ABC＋△ACDから求めることは可能なのでしょうか？

△ABCも△ACDも、それぞれ３辺の長さがわかっていますので、三角形の３辺の長さから面積を求める公式（ヘロンの公式）を使えば可能ですが、この公式は中学校の数学には登場しないのではないですか。ただしこの公式の証明は三平方の定理を使って中学校の数学の範囲だけでできます。

なお四角形ABCDは円に内接していますので、円に内接する四角形の面積を４辺の長さから求める公式（ブラーマグプタの公式）を使えば三角形に分割せずに直接面積が求められますが、この公式はさらに中学校の数学からは縁遠いでしょう。

回答No.1

Higurashi777

「与えられた条件だけで△ACDの高さを求める方法があるか」を考えられると良いでしょう。
ちなみに質問者様は直線ACが円の直径になる形で作図されていますが、直線ACは円の直径ではありません。
直線ACが直径であれば質問者様のお考えの方法でも求められますが・・・。

以上、ご参考まで。