任意の正数εについて

質問

ある参考書で、実数A,Bと任意の正数εに対してA≦Bを示すという題意で諸々定理を使って
A≦＊<B+ε (B≦＊)という形を導いたのですが、
最後「よってε→0としてA≦Bが示せた」という文で証明が終わりました。

この「よってε→0としてA≦Bが示せた」というところがよく分からず、質問させて頂きました。

B≦＊<B+εなので(直感的に)ε→0としてB=＊になるからA≦＊=Bとなることを言ってるのかなと思ったのですが、そうだとしてももう少し具体的に(略せず)証明できないかなと思った次第です。

お手数おかけしますが、何卒宜しくお願い致します。

回答No.2

tmppassenger · ベストアンサー

一応細かい事を言うと、「δ = A-B とおくと δ > 0となるが、」という風に具体的に書いた方がいいですが、その通りです。

（背理法を使って示す、というのが意外な感じがするかも知れませんが、学習を進めていくと、これと同じような論法をしないといけない場面が、多分この後結構出て来ると思います。）

お礼

ご返信ありがとうございます
またご確認頂きありがとうございました！
「δ = A-B とおくと δ > 0となる」の表現なるほどと思いました。
また困った時にはお助けください！

回答No.1

tmppassenger

つまり、

「実数A, Bについて、任意の正数eに対し A< B+eが成り立つ時、A≦Bが成り立つ」

ことを示せ、という問題ですが、『よくある例題』なので、自分で示して見てください。分からないところは補足に下さい。

※ちなみに、「ε→0とした時、<を≦に変えた式が成立する」ということ『を今から証明したい』事に注意。

ヒント：
仮に結論を否定し A>Bとした時、あるeに対して矛盾が生じることを導け。（こんなのに背理法が必要なのか？と思うかも知れないけど、仕方がない。）

お礼

ご回答ありがとうございます。
背理法で示すという考えが抜けてました、、
以下回答作ったのでご確認頂けますでしょうか。
(冗長かと思われますが理解のためご容赦くださいm(_ _)m)

任意の正数eに対し A< B+eが成り立つ時、A>Bを仮定するとA≠BでA=B＋δとなる正数δが存在する。
ところが、e=δの時A<B+δ=Aとなり矛盾する。
従って、A≦Bが成り立つ。