三角関数 数学の問題です！

質問

コ～ス、ツ～ニ
をなるべく丁寧な説明していただきたいです！！
あと、コ～スの問題文（PQ^2の部分）で<と≦が混じっている理由も教えていただけませんか？

ちなみに答えは、
コ0　サ4　サ1　ス9
ツ3　テ5　ト3　ナ1　ニ4　　です。

回答No.1

上野 尚人（@uenotakato） · ベストアンサー

PQ^2 = 2 - 2 cosβ’
ここで、 0 < β’ < 2π より -1 ≦ cosβ’ < 1
（β’は0にならないのでcosβ’は1にならない。これは問題文の「PとQは衝突しない」という条件に対応している）
よって
0 < PQ^2 ≦ 4 …☆
である。
PR^2 = 5 - 4 cosγ’
ここで、 0 ≦ γ’ < 2π より -1 ≦ cosγ’ ≦ 1
（γ’は0になってよい。それはO , P , Rがこの順に一直線上にあるとき）
よって
1 ≦ PR^2 ≦ 9 …★
である。

☆★より、PQとPRがまったく一致しないようにするには
0 < PQ^2 < 1 または 4 < PR^2 ≦ 9 …①
であればよい。

0 < PQ^2 < 1 とすると
0 < 2 - 2 cosβ’ < 1
1/2 < cosβ’ < 1
よって
0 < β’ < π/3 , または 5π/3 < β’ < 2π

4 < PR^2 ≦ 9 とすると
4 < 5 - 4 cosγ’ ≦ 9
-1 ≦ cosγ’ < 1/4
よって
δ < γ’ < 2π - δ
（δは cosδ = 1/4 をみたす角のうち 0 < δ < π をみたすほう）
となる。