正多面体と格子点

質問

空間座標で全ての頂点が格子点になるものが存在する
かを、５種類の正多面体で考える機会がありました。

判明していることは、
「正四面体・正六面体・正八面体は存在する」
「正十二面体は存在しない」
です。

そこで、
正二十面体は「存在する」「存在しない」のどちらな
のか知りたいのです。

よろしくお願いします。

回答No.1

oodaiko · ベストアンサー

結論から言えば存在しません。

それを証明しましょう。
正二十面体の一つの頂点に集まる５個の正三角形の底辺は正五角形をなしています。
そして正五角形の隣合う２辺と対角線で作られる二等辺三角形は頂角が(3π)/5です。

よってもし全ての頂点が格子点上にあるような正二十面体があれば、
各頂点が格子点上にあり、頂角が(3π)/5になるような二等辺三角形が存在することになります。

そこでこのような二等辺三角形が存在しないこと示せば、質問の条件を満たす正二十面体が
存在しないことが言えます。正十二面体が存在しないことの証明も全く同じです。

そこで背理法を使ってこのような二等辺三角形が存在しないこと示しましょう。
今そのような二等辺三角形ＡＯＢが存在したとします。Ｏは原点としましょう。
そして∠ＡＯＢ＝(3π)/5 とします。
残りの２点はＡ＝(a,b,c),Ｂ＝(e,f,g)とします。もちろん各座標値は整数と仮定し,
a,b,cのすべてが、あるいはe,f,gのすべてが0となることもありません。

（ＯＡ・ＯＢ）＝｜ＯＡ｜｜ＯＢ｜cos { (3π)/5 } ＝｜ＯＡ｜｜ＯＢ｜（1 - √5）/ 4

ですから、両辺を｜ＯＡ｜｜ＯＢ｜で割ってから２乗すると

(ae + bf + cg )^2 / {( a^2 + b^2 + c^2 )( e^2 + f^2 +g^2)} ＝ (4 - √5)/ 8
となります。a,b,c,e,f,gが整数ですから左辺は有理数ですが右辺は無理数なので矛盾。
よってそのような二等辺三角形が存在しないことを示せた。　　　　　　　　　　■

証明を見ればわかるように本質的なのは辺のなす角度(3π)/5であって、二等辺三角形でなくても
一つの角が(3π)/5であるような格子点三角形は存在しないことがわかります。

ところでthetasさんはどのようにして正十二面体の場合は存在しないことを証明したのでしょうか？
今示したように正十二面体が存在しないことと正二十面体が存在しないことは
全く同じ方法で示せるのですが。

お礼

ありがとうございます。

正十二面体が存在しないことの証明として、
回答と全く同様でcos(３π/５)が無理数であることを用いて、
正五角形が存在しないことを利用しました。

正二十面体の頂点をうまく選ぶと、正五角形になるのはすぐに納得がいきました。
それだけに、悔しいです。

ちなみに、
正四面体・正八面体が存在することが、正六面体が存在することから分かることは、
具体的に正四面体・正八面体となる頂点の座標を求めてから気付いたものですから……。