空間上の格子点の問題

質問

３次元空間に９つの格子点がある。これらの２つを選び結んでできる線分のうち、その線分上に格子点が存在するような線分が必ず存在することを示せ

という答えが載ってない問題をやってます。

鳩の巣原理を使うような気がするのですが、そこからさきがすすみません。
２次元空間に５個の格子点、と問題を単純化してみたのですが、それもわかりません。

どなたかヒントをお願いします。

回答No.1

staratras · ベストアンサー

3次元空間上の点の格子点のx,y,z座標それぞれについて、奇数か偶数かのいずれかですので、その種類は２＾３＝8通りです。

つまり、8点まではすべて違うタイプにできますが、9点目はどうしても残りの8点（8種類）のいずれかと同じタイプ(例えばx：奇数、y：偶数、Z：奇数）となります。

同じタイプの2点の中点のx,y,z座標はどうなるでしょうか。