整数問題の別解

質問

青チャ数2B例題7ではこのような問があり、正答はkを3q+〇で表し、2^kが条件を満たすような場合を各々二項定理または合同式で計算し確かめていました。僕は逆像法(?)らしき考えで結論から出しましたが、これは正しい
ですか？青チャでは上記の正答の方が似た形式の汎用性が高いから採用したのでしょうが、なんせ解答が重く大変で、これで良いのなら別解として抑えておきたいと思いました。

回答No.2

tmppassenger · ベストアンサー

そもそもですね：

問題は「2^k≡4(mod 7) ⇒ k≡2(mod 3)」が成り立つことを示せ。です。

これに対し、あなたの解答は、k=3m+2(m=0,1,2,...)ならば 2^k = 2^(3m+2)≡4(mod 7)。つまりあなたの示した事は「k≡2(mod 3)⇒2^k≡4(mod 7) 」。つまり問題の命題の「逆命題」です。

問題の命題の対偶（これは元の命題と同値）を取ると、「k≡2(mod 3)でない ⇒ 2^k≡4(mod 7) でない」、つまり「k=3mまたはk=3m+1（mは非負整数）⇒ 2^k≡4(mod 7) でない」です。これと比べると、あなたの解答はそもそも示している事が問題と違うことが分かるでしょう。

お礼

確かにそうでした💦 逆像法とは全く違いますね( ´ー`)そもそもA⇒BでAとBが対応していないのですから。とてもわかりやすくスッキリしました。ありがとうございました！

回答No.1

mmok0713

これでは不十分です
下から2行目の、合同記号が２つありますが、左は等号ですね
左項を計算したのが真中ですから
で、じつは右側の合同式が成り立つかを証明しなければNGです
これは、問題の左の命題を、右側のｋをしただけですからね
この合同式の成立する事を証明して下さい

補足

下から2行目についてご指摘がありましたが、8^m×4においてm＝0の時4、m≠0の時1^m×4と合同だから4となり、いかなる場合においても4と合同であると思うのですが、それを記述した方がいいという認識でしょうか。