不動直線の問題についての疑問
- 不動直線の問題について、(3)の解答について疑問があります。
- (3)の解答では、なぜ原点を通る直線は含まれないのか疑問です。
- また、k=1のときの直線がなぜ含まれないのかも疑問です。
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不動直線の問題ですが理解できません。
行列A=(a-1 -a) (a a+3) で表される一次変換をfとするとき次の問いに答えよ。という問題で (1)ｆによってそれ自身に移される直線が存在するようなaの範囲を求めよ。 (2)ｆによって、自分自身に移される原点以外の点が存在するときのaの値を求めよ。 (3)(2)のとき、ｆによってそれ自身に移され,しかも原点を通らない直線が存在する。この直線の方程式を求めよ。 という問題ですが、まず(1)は（A-KE）u↑＝0↑、k^2-2(a+1)k+2a^2+2a-3=0・・・・(1) これから-2≦a≦2 （２）はAx↑＝ｘ↑、すなわち、（A-E)x↑＝０↑、を満たすaだから、a=＋－√２・・・・(2) となりますが分からないのは(3)で、解答を見ると まず(2)のとき、(1)はk=1を解にもつ。このときの他の解をαとすると、α＋１＝２（α＋１）、 α＝2a^2+2a-3,よってケーリーハミルトンの定理から、A^2-2(a+1)A+(2a^2+2a-3)E=Oだから、 A^2-(α+1)A+αE=O,A(A-E)=α(A-E)・・・・(3) 次に、平面上の任意の点P(p↑)をとり、そのfによる像をP'(p'↑）とし、q↑=p'↑-p↑とおく。 q↑=f(p↑)-p↑=Ap↑-p↑=(A-E)p↑だから、(3)より、Aq↑=A(A-E)p↑=α(A-E)p↑=αq↑ よって、q↑はAu↑=αu↑・・・・(4)を満たすベクトルだから、そのようなベクトルの一つをu'↑とすると、 q↑=tu'↑,p'↑-p↑=tu'↑、すなわちPP'∥u'↑ これは平面上の任意の点が(4)を満たすベクトルに平行に移るということだから、そのようなベクトルを方向ベクトルにもつ直線はすべて不動直線となる。 (i）=√２のとき、(1)より、k^2-2(√２+1)k+2√２=0,k=1,1+2√２ Au↑=(1+2√２)u↑、これを満たす方向ベクトルのひとつはu1↑=(1,-(√２+1))だから、 求める直線の方程式は、y=,-(√２+1)x+c(c≠0) (ii）a=-√２のとき、(1)より、k^2-2(-√２+1)k+1-2√２=0,k=1,1-2√２ 同様にして、求める直線の方程式は、y=,(√２-1)x+d(d≠0) という解答になっていますが、 なぜ上記の説明で、原点を通る直線は含まないと言えるのでしょうか？また、k=1のときの直線はなぜ含まないのでしょうか？ どなたか分かりやすく教えて頂ければ幸いです。
- gagagaky
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原点を通る直線は含まないと言えるのではなく、 (2)の条件下に y=-(√２+1)x+c と y=(√２-1)x+d は c=0, d=0 のものを含めて不動直線だけれども、 (3)で、原点を通らない直線の方程式を求めよ…と言っているから 原点を通る c=0, d=0 を除外して答えているだけ。 k=1 については… 不動直線は、A の固有ベクトルの一つを方向ベクトルとし、 A の不動点の一つを通過する直線のこと。 固有値 1 に対する固有ベクトルを方向ベクトルとすると、 不動直線は、方向ベクトルと通過点の位置ベクトルが平行 だから、原点を通ることになる。 すなわち、この方向の直線で原点を通らないものは無い。
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