対偶が正しいのは経験的なものですか？

質問

間違っている可能性がありますが、数学的に正しいと言われているのは、種類は二つあると思っていていまして、証明はできないが経験的に正しいものと、証明ができ、完全に正しいと言えるものです

証明はできないが経験的に正しいものの例としては、偶数 * 偶数を一つ一つ計算して、正しいと言えるかどうかを判断されているものです
2*2 =4 6 8 10 12 と何度計算し直しても、偶数になりますが、これは完璧に正しいものとは言えません　なぜなら、偶数に当てはまる数を全て計算したわけではないので、命題　偶数 * 偶数=偶数が絶対に真であると言えないからです（私は、例としてこれを出しただけで、偶数*偶数を証明したいわけではありません）

証明ができ、完全に正しいと言えるものの例として、定理と言われているものです

質問タイトルの”経験的なもの”というのは、前述で説明した”証明はできないが経験的に正しいもの”という意味です

この質問をしたところ、”　経験的ではありません
元の命題とその対偶の両方の真理値表を書いてみればよいです。”
と返ってきましたが、この元の命題をAとすると、命題Aと命題Aの対偶の真偽が一致しているというだけで、全ての命題で正しいとは言えないので、対偶が正しいのは経験的と言えます

回答No.3

tmppassenger

だから、その場合も『全てのxの場合について』調べればいい。

＊要は、例えば x=9なら「P: x²-1＝3」は偽で、「Q: x＝2」も偽。で、この場合の「P→Q」と「¬Qならば¬P」の真偽の値が一致するか調べる。これを『全てのxのパターン』について調べればよい

しかしどのxの場合においてもP, Qの真偽の組み合わせは既に書いた4パターンしかないのだから、結局『全てのxの場合について調べる』とは言っても、先程の4パターンの場合を調べればよい、という事です。

回答No.2

tmppassenger

だから、対偶というのは、「P→Q」の形の命題に対する「¬Q→¬P」という命題なんだから、『全ての命題P』『全ての命題Q』に対して、「P→Q」の真偽と「¬Q→¬P」の真偽が一致することを確認すれば良い。

で、『全ての命題P』『全ての命題Q』に対して、とは言っても、実際には『Pが真でQが真の場合』『Pが真でQが偽の場合』『Pが偽でQが真の場合』『Pが偽でQが偽の場合』の4つの場合分けで、『全ての命題P』『全ての命題Q』について調べた事になる、といっているのです。

補足

ごめんなさい　今頃になって理解できました
返信ありがとうございます

しかし、数学には、命題p->qが合ったとして、pは、x²-1＝3
qは、x＝2 とp（仮定）が命題ではなく、条件と言われるものだったら、真偽表から導くことは不可能になりませんか？

その場合、『Pが偽でQが偽の場合』などを調べることは不可能ではないですか？

回答No.1

tmppassenger

> この元の命題をAとすると、命題Aと命題Aの対偶の真偽が一致しているというだけで

いや、だからそうではなくて、要はP→Q と ¬Q→¬Pの同値性を見るのだから、「Pが真でQが真」「Pが真でQが偽」「Pが偽でQが真」「Pが偽でQが偽」それぞれの場合（つまり考えられる全ての場合）において真偽表を書いて、全ての場合においてP→Qと¬Q→¬Pとの真理値が一致するなら、P→Q と ¬Q→¬Pの同値性が言える、という話をしている。

補足

私が言いたいのは、命題Aが存在したとして、命題Aと命題Aの対偶が一致するのは、正しいと言えますが、それは命題Aの対偶が正しいと言えるだけで、他の命題の対偶が正しいとは言えませんよね？

私が前述で例を出しましたが、これは 2*2=4だから、偶数かける偶数が偶数であると言っているようなものです
しかし、偶数に当てはまる数全ての計算を全て証明したわけではないので、経験的に正しいと言えるのではないですか？