陽関数に変換できない陰関数？

質問

x^3 + y^3 - 5xy^2 - x +1 = 0
この陰関数は陽関数に変換できるのでしょうか？
y^3 と y^2 が含まれているため、左辺をy= の形にしようとしても右辺にyが出てきてしまうので、できないと思ったのですが合っていますか？
陰関数から変換できるものとできないものの見分け方も教えていただきたいです。

回答No.1

上野 尚人（@uenotakato） · ベストアンサー

yについての三次方程式を解くことになります。
三次方程式の解の公式（タルタリアの公式）を用いれば y = f(x) の形に表すことはできるでしょうが、その解に二乗根や三乗根が含まれてかなり複雑な式になるため、実際にその式に変形することは避けたほうよいと考えます。
四次方程式にも解の公式（フェラーリの公式）はあるので、yの四次以下の多項式であれば理論上は y = f(x) の形にできます。
ただ、その形が使いやすいかどうかは式の形によるため、
「筆算ですぐに y = f(x) の形に変形できるかどうか」
でその都度判断する、としかいえません。

お礼

なるほど、筆算ですぐにy=f(x)の形にならないと変形する旨味はないみたいですね。ご回答ありがとうございます。