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確率漸化式
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N(1)=0 N(2)=1 (2,1) N(3)=2 (2,3,1),(3,1,2) N(4)=9 (2,1,4,3),(2,3,1,4),(2,4,1,3),(3,1,4,2),(3,4,1,2),(3,4,2,1),(4,1,2,3),(4,3,1,2),(4,3,2,1) このくらいまでは直接に確かめられるだろう。 N(k)からP(k)を求めるにはk!で割ればよい。 P(1)=0 P(2)=1/2 P(3)=2/6=1/3 P(4)=9/24 次にN(5)であるが，5番目の箱に入れる玉に注目する。これは1から4までの4通り。そしてその数をiとして， もしi番目の箱に入れる玉が5でなければ，5番目の箱のiを除く4個の玉考えて，その場合の数はN(4)となる。 もしi番目の箱に入れる玉が5であれば，i番目の箱の5と5番目の箱のiを除く3個の玉を考えて，その場合の数はN(3)となる。 したがってN(5)=4*(N(4)+N(3)) 一般にもN(k+2)=(k+1)*(N(k+1)+N(k))が成り立つ。 (k+2)!で両辺を割ればP(k+2)=(k+1)/(k+2)*P(k+1)+1/(k+2)*P(k)が成り立つ。
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