斜方投射されたバネマスモデルの着地時エネルギー保存

質問

質量mの質点に、質量ゼロで減衰なしでバネ定数kのバネが付いているモデルを考えます。このバネマスモデルを添付図のように空中から右下に落下させて、バネが地面に対して角度をつけて着地したとき、エネルギーは保存
されるのでしょうか？されないのでしょうか？バネ下端は地面に対して滑らないと仮定します。また、加速度の垂直成分は重力加速度、つまり自由落下するとします。よろしくお願いします。

回答No.2

ddtddtddt · ベストアンサー

バネが着地している間は着地点から鉛直抗力と水平抗力を受けますが、着地点は動かないので鉛直抗力も水平抗力も仕事をしません。なのでエネルギーは保存します。［力学的エネルギー］＝［運動エネルギー］＋［バネのエネルギー］＋［位置エネルギー］です。

　一番短く言うと上記になりますが納得しがたいと思いますので、抗力を含んだ運動方程式を書こうかとも考えました。でも面倒なのでやめました。添付図のように考えてはどうでしょうか？。
　着地点は動かないわけですから、回転抵抗のないヒンジ支点と同じです。ヒンジ支点に摩擦はありません（抗力は仕事をしない）。

(1) 添付図のv0～v1まで質点の重心運動は、初速v0の下方への斜方投射の自由落下と同じです。

　[力学的エネルギー]＝[重心の並進の運動エネルギー]＋[位置エネルギー]

(2) 着地した瞬間は、(1)の自由落下の終速度v1を初速として、ヒンジ支点に支えられた運動へ移行します（軌道の拘束と本質的に同じです）。
　　v1～v2の間は、バネが縮みながらのヒンジ支点まわりの回転運動です。

　[力学的エネルギー]＝[重心の並進の運動エネルギー]＋[重心まわりの回転の運動エネルギー]＋[バネのエネルギー]＋[位置エネルギー]

(3) バネは質量がないので自然長に戻ったv2の瞬間に伸びをやめてエネルギー0，抗力も0。
　　v2以降の重心運動vは、初速v2の上方への斜方投射の自由落下と同じです。
　　ただし着地中にθ回転し角速度ωを持つので、回転エネルギーは残ります。厳密には回転しながらのリバウンド、という事になると思います。

　[力学的エネルギー]＝[重心の並進の運動エネルギー]＋[重心まわりの回転の運動エネルギー]＋[位置エネルギー]

お礼

お礼が遅くなり申し訳ございません。図解入りで丁寧にご解説いただき本当にありがとうございました。よく理解することができました。なるほど、空中期では自由落下で、接地旧帝大てはヒンジのように振る舞う、保存系なのですね。ありがとうございました。

回答No.1

CygnusX1

エネルギーは保存されます。
位置エネルギー　→ 運動エネルギー
→ バネの内部エネルギー　→ 運動エネルギー
となります。
バネの内部エネルギーは、バネの縮む長さを ΔL とすると、
E = 0.5 k ΔL^2
となります。
また、跳ね返った後の速さはほぼ同じですが、方向が変化します。