衝突後の速度を反発係数を使わずに減衰比を使う方法

質問

自由落下している質量mの質点が速度vで地面に衝突したとき、衝突直後の質点の速度v'を、反発係数を用いずに減衰比を使って表すと、どういう関係式になりますでしょうか？

質点の下にバネが取り付けられた系が剛体の地面と衝突すると考えることで、反発係数のかわりに減衰比を使ってv'を表すことができると思いますが、どのような関係式になりますでしょうか？

よろしくお願い申し上げます。

回答No.2

CygnusX1 · ベストアンサー

#1 です。
減衰 比を勘違いしてました。
減衰比ζが 0 <ζ<1 の場合の減衰振動の式
y(t) = C * exp(-ζ* ω0 t) * cos(ω0 * sqrt(1 - ζ^2) t - α)
があるんですね(^^;;;
これを t で微分しても係数が変わるだけなので、
v(t) = C' * exp(-ζ* ω0 t) * sin(ω0 * sqrt(1 - ζ^2) t - α')
跳ね返る時は
ω0 * sqrt(1 - ζ^2) t = π
なので、跳ね返るまでの時間は

t = π / (ω0 * sqrt(1 - ζ^2))

これを exp( )に代入して

exp(-ζ* ω0 * π / (ω0 * sqrt(1 - ζ^2)))
= exp(-ζ* π / (sqrt(1 - ζ^2)))

ということで、

v' = exp(-ζ* π / (sqrt(1 - ζ^2))) * v

exp( ) の中にω0 がないのでなんか変な感じですが、
これで合っていると思います。

普段は運動方程式からいきなり数値積分してどんな感じか計算してしまうので、減衰振動の式を忘れていました。と、言い訳(^^;;;

お礼

ありがとうございます！！理解できました！本当に助かりました！

回答No.1

CygnusX1

ばね定数を k [ N/m ]、自由長を y0 [ m ]、減衰係数 c [ N/(m/s) ]、重力加速度 g [ m/s^2 ] 、質点の高さを y [ m ]として、運動方程式は

m (d2y/dt2) + c (dy/dt) + m g - k ( y0 - y) = 0

これを解いて、初期条件に v として、y が y0 になるまで積分? すれば反発時の速度 v' が求まると思います。