減衰比と走行速度との関係

質問

添付ファイルのようなモデル(質量mの質点とバネ定数k、減衰係数cのバネ)をスロープ角一定の下り坂の上で受動走行させた場合、走行速度がモデルの減衰比に比例したのですが、なぜ減衰比に比例すると思われますか？ま
た、その比例係数は何によって決定されますか？比例係数はスロープ角に依存すると思うのですが、厳密にどのような関係式で減衰比と走行速度(前進速度)の関係を表すことができるのか、ご助言いただけると幸いです。よろしくお願い申し上げます。

回答No.13

CygnusX1

＞どうやったらそのレベルに到達するのですか。。やはり物理の力学の問題をもっととにかくたくさん解きまくるしかないのでしょうか。

解きまくるんですけど、シミュレーションソフトなどは使わずに、エクセルなどで、運動方程式から動きを求めてました。
今回の例ですけど、
質点の位置→バネの長さ→バネの反力→加速度→dt秒後の速度→dt秒後の質点の位置→バネの長さ・・・
という感じで繰り返し計算して、グラフを描く。
初期条件の m, k, Vx, Vy をいろいろ変えて、どんな風に跳ね返るのかを可視化します。
注意点は dt の選び方、大きいと発散することがあります。
ま、その時は dt を小さくして行(列)を増やす。

こういうことをいろいろな問題でやって行くと、感が働くようになります。たぶん

お礼

ありがとうございます。私も色々といろんな問題を解いたり数値計算してみたりして実力をつけたいと思います。今回の質問でも大変お世話になりました。本当にありがとうございました。

回答No.12

CygnusX1

＞バネの地面に対する着地角が0.3radほどあった場合は、

m = 1 kg
k = 10 N/mm (自由長 50 mm)
ζ = 0.01 ( c = 0.002, exp( ) = 0.9691)
落下高さ 100 mm
という条件で計算しました。

水平方向の速度が跳ね返る前後で変わらずに、着地角が 0.3 rad = 17.19 deg となるのは、水平速度が 1078.3 mm/s だけです。
この時、Vy3 / Vy2 = 0.9550 となり、0.9691 の -1.46 % です。
やはり、着地角が大きいと Y方向の速度の減少率は大きくなります。

なお、着地角 0 rad の時は ζ' = 0.9673 ( -0.18 % )で、0 % にはなりませんでした。この辺りが私の限界のようです(^^;;;

さらに、おまけ
角度[ deg ] ζ'
0 0.9673(-0.18 %)
2.5 0.9669(-0.23 %)
5 0.9660(-0.32 %)
7.5 0.9652(-0.40 %)
10 0.9637(-0.56 %)
12.5 0.9614(-0.79 %)
15 0.9585(-1.09 %)
17.5 0.9542(-1.53 %)

回答No.11

CygnusX1

回答No.4 のお礼にあった

「この条件でありさえすれば、衝突後の垂直方向の速度Vy3が衝突前の垂直方向の速度Vy2に反発係数eを掛けたものになる、ということを理論的に記述することは可能でしょうか？」

にお答えしていなかったと思うので、
まず、粘性係数 c [N / [m /s)] はバネの伸縮速度 Vs にかかってくるものと考えます。バネ定数 k が十分大きければ、跳ね返っている時間は極短く、その間、バネはほぼ鉛直方向を向いています。という事で粘性係数は Vy にだけ影響を与えることになります。
また、水平方向については、バネは着地している点を基準にして自由に回転できるため、Vx に影響することはほとんどありません。

念の為、
m = 1 kg,
k = 1000 N/mm (自由長 50 mm)
c = 0.02 N/(mm/s) 、ζ=0.01
Vx = 1000 mm/s
Vy2 = -1000 mm/s
として、跳ね返りのシミュレーションをすると、
跳ね返り時間　3.14 ms
Vy3 = 966 mm/s
となり、Vy3 / Vy2 = 0.966 で、ζ=0.01 のexp( ) = 0.969 とほぼ等しくなりました。
ということで、減衰係数 c は Vx には影響せず、Vy にだけ影響する、と言えると考えます。

こんなものでどうでしょか?

お礼

ご教授頂き大変ありがとうございます。

>バネ定数 k が十分大きければ、跳ね返っている時間は極短く、その間、バネはほぼ鉛直方向を向いています。という事で粘性係数は Vy にだけ影響を与えることになります。

についてですが、跳ね返っている時間が極短く無く、バネの地面に対する着地角が0.3radほどあった場合は、離陸直後のVyは着地直前のVyに反発係数を掛けたものとはならないのでしょうか？ただし、空中期のVxは変わらないような角度で着地するとします。

ご教授頂ければ幸いです。

回答No.10

CygnusX1

周期 T を使ってというリクエストにお答えして、

T = t1 + t2 = sqrt(2 y / g) + sqrt(2 (y + h) / g)
= (sqrt(2 g y) + sqrt( 2 g (y + h))) / g
= (sqrt(2 g y) + sqrt(2 g y) / exp(- ζ π / sqrt(1 - ζ^2))) / g
= (sqrt(2 g y) (1 + 1 / exp(- ζ π / sqrt(1 - ζ^2))) / g

sqrt(2 g y) = g T / (1 + 1 / exp(- ζ π / sqrt(1 - ζ^2)))

ここで
E = exp(- ζ π / sqrt(1 - ζ^2))
とします。

Vx = (1 / (2 tanθ)) sqrt(2 g y) (1 / exp(-ζπ / sqrt(1 - ζ^2)) - 1)
= (1 / (2 tanθ)) sqrt(2 g y) (1 / E -1)
= (1 / (2 tanθ)) g T /(1 + 1 / E) (1 / E -1)
= (g T / (2 tanθ) (1 - E) / (1 + E)

となります。

(1 - E) / (1 + E) ≒ (π/ 2)ζ
となるはずです。

お礼

ありがとうございます！！！！大変助かりましたm_ _m
本当にお世話になりました！！

それにしても凄い、凄すぎます。。。どうやったらそのレベルに到達するのですか。。やはり物理の力学の問題をもっととにかくたくさん解きまくるしかないのでしょうか。もちろん導出過程は難しいことはしてないことは分かるのですが、そのように導出できるということをすぐに分かるというのは本当に凄いですね。

回答No.9

CygnusX1

解き方がごちゃごちゃしてしまったので、書き直しますね。

スロープの角度をθ(下り坂ですが、θ> 0とします)とし、
X 進んだ時に h 下がるとします。tanθ= h / X

１回目の跳ね返り後の高さ(最高点)を y とすると、落ちる高さは y + h となります。
１回目の反射上昇時の速度は Vy1 = sqrt(2 g y)
２回目の落下時の速度は Vy2 = sqrt(2 g (y+h))
反射上昇時の速度を減衰比で表すと
Vy3 = Vy2 exp(- ζπ/ sqrt(1 - ζ^2))
これが繰り替えされるためには、Vy3 = Vy1 となる

sqrt(2 g y) = sqrt(2 g (y + h)) exp(- ζ π/sqrt(1 - ζ^2))

水平方向の速度 Vx は
上昇時間 t1 = sqrt(2 y / g)
降下時間 t2 = sqrt(2 (y+h) / g)

Vx = X / ( t1 + t2)
= X / (sqrt(2 y / g) + sqrt(2 (y + h) / g))
= X (sqrt(2 (y + h) / g) - sqrt(2 y / g)) / (2 (y + h) / g - 2 y / g)
= X (sqrt(2 (y + h) / g) - sqrt(2 y / g)) / (2 h / g)
= X (sqrt(2 (y + h) g) - sqrt(2 y g)) / (2 h)

ここで
sqrt(2 y g) = sqrt(2 (y + h) g) exp(-ζπ / sqrt(1 - ζ^2))

から、
sqrt(2 (y + h) g) = sqrt(2 y g) / exp(-ζπ / sqrt(1 - ζ^2))

Vx = (X / (2 h)) (sqrt(2 y g) / exp(- ζπ / sqrt(1 - ζ^2)) - sqrt(2 y g))
= (X / (2 h)) sqrt(2 y g) (1 / exp(-ζπ / sqrt(1 - ζ^2)) - 1)
= (1 / (2 tanθ)) sqrt(2 y g) (1 / exp(-ζπ / sqrt(1 - ζ^2)) - 1)

ここで、
(1 / exp(-ζπ / sqrt(1 - ζ^2)) - 1)
を 0 < ζ < 0.1 という条件で、ごにょごにょするとζ の一次式になります。

お礼

丁寧に教えて頂き本当にありがとうございます！！ζの1次式で導出できました！！
ただ、、、周期を使って表せないのですね。。
sqrt(2yg)×２を周期と近似するしかないのでしょうかね。^^;

回答No.8

CygnusX1

あ、なんかめんどくさい事をやってしまった。
sqrt(2 y g) = sqrt(2 (y + h) g) exp(-ζπ / sqrt(1 - ζ^2))
sqrt(2 (y + h) g) = sqrt(2 y g) / exp(-ζπ / sqrt(1 - ζ^2))

これでいいのだ(^^;;

回答No.7

CygnusX1

＞ sqrt(2(y+h)g)のhも消せるのでしょうか？

sqrt(2 y g) = sqrt(2 (y + h) g) exp(-ζπ / sqrt(1 - ζ^2))
sqrt(2 y g) / sqrt(2 (y + h) g) = exp(-ζπ / sqrt(1 - ζ^2))
ひっくり返して、二乗すると
(y + h) / y = (exp( ))^2

あとはわかりますよね

回答No.6

CygnusX1

バネの伸縮時間がごく短くて、バネの回転角度が小さければ、着地時と離昇時の質点の高さ(位置エネルギー)がほぼ等しいので、エネルギー保存則が成り立ち、
(Vy2^2 + Vx2^2) = e * (Vy3^2 + Vx3^2)
Vx2 = Vx3
となると思います。

バネの角度変化は出来るだけ小さい方がいいと思います。
そのためには、バネ定数は大きく、減衰係数も大きく、なるのでしょうか

回答No.5

CygnusX1

解き方のヒント

vx = (X / (2 h)) sqrt(2 (y + h) g) (1 - exp(-ζπ / sqrt(1 - ζ^2)))

(1) この式から、X, h を消します。
(#1 の 式 tanθ = - h / X のθは負の値 )
(2) exp( ) をテーラー展開します。
(3) 0 < ζ < 0.1 なので、ごにょごにょ

そうすると ζ の一次式になります。

お礼

ヒントありがとうございます。すみません、、、ちなみにですが、

> (1) この式から、X, h を消します。

ですが、sqrt(2(y+h)g)のhも消せるのでしょうか？どうやったら消せるかヒントを頂けないでしょうか。。。もしよろしければお願い致します。m _ _m

回答No.4

CygnusX1

ご指摘のように v2, v3 は垂直方向の速度成分のみを考えています。
バネの角度は x 方向の速度が衝突前後で変わらないという都合のいい角度になっていると考えています。そうしないと走行速度が一定にならないから(^^;;;

添付の図は最初の質問
https://okwave.jp/qa/q9877933.html
で　
質量 1 kg
バネ長さ 50 mm
バネ定数 10 N/mm
バネ角度 29.1 deg (真下から進行方向へ)
高さ 100 mm から横方向に 1000 mm/s で落とした時の軌跡です。
質点は図のように真上に跳ね上がります。
角度が大きいと元の方向に戻りますし、角度が小さいと右側に跳んでいきます。
このような物体?ですから、斜面に落ちても水平面と同じように跳ね返ると都合よく解釈していいと思います。
普通の跳ね返りでは 回答No.1 でも書きましたが、どんどん坂道を転がり落ちていきます。

お礼

ご返答大変ありがとうございます。またグラフもありがとうございました。とてもわかりやすいです。すみません、

>バネの角度は x 方向の速度が衝突前後で変わらないという都合のいい角度になっていると考えています。

この条件でありさえすれば、衝突後の垂直方向の速度Vy3が衝突前の垂直方向の速度Vy2に反発係数eを掛けたものになる、ということを理論的に記述することは可能でしょうか？バネの角度がx方向の速度が衝突前後で変わらない角度であれば何度であってもVy3=e※Vy2の関係になるのでしょうか？

実は質問文のモデルでシミュレーションしたのですが、お教えいただいた理論式から導出したVxよりもシミュレーション結果のVxの方が1.1〜1.2倍ほど大きくなりまして。。シミュレーションの計算精度自体は0.00001m/sの許容誤差でしているので、シミュレーション自体は間違ってはいないと思うのですが、なぜ理論と異なるのかということを今日ずっと考えていたのですが、答えが出なくて。。^^;