高校数学程度の平面幾何の問題の解

質問

平面上にある曲線があり、f(x,y)=c(定数）と表示されているとします。さらに同じ平面上の任意の点(xo,yo)が与えられているとして、この点と曲線の最短距離を表示する一般式はあるでしょうか。この曲線がどの程度グニャグニャしているかにも寄るだろうと思いますが、この曲線上の点(x’,y')でこの曲線の法線方向に直線を伸ばしてそれが(xo,yo)を通過することを確認したら、(xo,yo)と(x',y')の距離としていいという風に考えていいです（(xo,yo)に対して1つしか(x',y')がないと考えていいので）。曲線が円だったら公式化されていたように思います。曲線がY=A/(X+B)+C, A,B,C定数だったらどうなるでしょうか。一応、紙と鉛筆でやってみたいのですが、高次代数方程式になってしまいそんな面倒なはずないのにと思ったのですが。

回答No.1

gamma1854 · ベストアンサー

整理すると、
y=f(x) のとき、
L=(x - x0)^2 + (y - y0)^2, (x0, y0 は与えられた定数)
の最小値を求めることでしょうか。
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dL/dx=2(x - x0) + 2{f(x) - y0)}*f'(x)=0
の実数解 x=α が、Lの最小値を与えるｘの候補です。

お礼

回答ありがとうございました。解の候補を挙げるということになるのかなと思います。円のようなものはすぐに解が得られそうですが、曲線によって異なるのかなと思いますが。
また、その候補でよいとしても結構高次の代数方程式となり、実数解に限定するなどして絞り込めるのかなとは思いますが。紙と鉛筆でやると面倒な感じがします。