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微分積分は次元と本質的な関係がありますか
表題の通りなのですが、わかりやすく教えていただけないでしょうか。
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xy平面上に何かの図形があり、これをz軸方向へ積分するとします。 z軸で積分をするためには、積分を行う前にz軸が定義されて3次元になっている必要があります。 z軸を考えたわけですから、xyzの3次元空間を考え、その中のz=0という条件が加わった図形を積分しようとしているわけですから、3次元の図形を積分して、3次元の図形になったわけです。
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- QCD2001
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回答の一部を訂正します。 2個の値の組み合わせの時にn次元 と書きましたが、これは間違いで n個の値の組み合わせのときがn次元です。
お礼
微積分が面積と体積の関係になることはどうなのでしょうか。
- QCD2001
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「次元」の定義ですが、 ある集合で、その任意の要素を2個の値の組み合わせによって一意的に 表せるような集合をn次元の集合と呼びます。 xy平面は、平面上の任意の点を座標(x、y)という2つの値の組み合わせによって表すことができ、たとえば(1、0)という座標で表せる点は1つしかありませんから、一意的に表せるわけです。ですから、xy平面は2次元の集合であると言えます。 先日、神保町の三省堂へ本を買いに行きました。三省堂ビルは大きなビルで、たくさんの本がありますが、目的の本があるかどうかわかりませんし、その本がどこにあるのかもわかりません。そこで、あちこちに置いてある検索機械で検索をしてみます。 目的の本があることがわかりました。 3階の、Aの列の端から2番目の本棚の上から5番目の段に置いてあるようです。 そこへ行ってみると、確かに買おうと思っていた本がありました。 さて、三省堂の検索システムにおける書籍の位置情報は 何階か どの本棚の列か 何番目の本棚か 上から何段目の棚か という4つの値で指定をしています。 これは、三省堂ビル内のどの棚もこの4つの値の組み合わせで表すことができ、しかも1階のB列の3番目の本棚の4段目の棚は1つしかないので、一意的に表すことができます。ですから、三省堂の書籍の位置情報は4次元の集合であるとみなすことができます。 このように、nこの値で要素を指定できるようなものがn次元です。 さて、xy平面は2次元の集合ですが、xy平面に y=x^2 という曲線を描いてみます。 この曲線は、xy平面上に描かれており、xy平面は2次元の集合です。従ってこの曲線状の点の集合は、2次元の集合であるxy平面の部分集合です。従ってこの曲線は当然2次元の集合でもあります。 これを微分して得られた y=2x という曲(直)線をxy平面上に描くと、この曲線もxy平面の部分集合であるので当然に2次元の集合となります。 このように、その要素を表すのにいくつの値の組み合わせが必要になるか、で次元数が決まります。 微分をしようが積分をしようが、2次元のxy平面上で議論をしている限り、2次元は2次元です。 厳密な議論をするとややこしくなるので、このくらいにしておきます。
お礼
ご教示を理解できるように繰り返し読ませていただきます。同じ座標の中では次元が変わるということがないと理解しました。
- QCD2001
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全く関係ありません。 「次元」という概念が理解できていたらこのような質問が出てくるはずがないので、まず「次元」を理解しましょう。
お礼
仰る通りです。次元というのがわからないのです。x^2を微分すると2xになることを次元が違うのかと思っていました。この辺をご教示いただけませんか。
お礼
次元自身には何の変りもないわけですね。