ルベーグ積分の問題

質問

I=(0,∞)、f:I→Iは可積分で∫[I]xf(x)＜∞
このとき次の値を求めよ

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回答No.3

tmppassenger · ベストアンサー

fがI = (0,∞)で積分可能であるから、 I において |f(x)| < ∞ a.e. である。
（∵Cebysev の 不等式から、任意の正数 M に対し、m( { x | |f(x)| = ∞} ) ≦ m( { x| |f(x)| > M} ) ≦ (1/M) ∫ |f| dx。Lebesgue積分の定義から、 ∫ |f| dx = ∫f+ dx + ∫f- dxで、後ろの2つは積分確定である）

そこで、y≧0に対して y≧ sin(y)である故、I上a.e.の点で 0≦ | f(x)sin(tx) | ≦ |t| | f(x) * x |→ 0 (t→0)である故、f(x)sin(tx) は t→0の時に0に I 上概収束する。

又、I上 sin(tx)は可積分「ではない」が、g[n](x) = sin(tx) * χ[0, n](x)とすれば、g[n](x)→sin(tx) (n→∞)で、∫|g[n](x) f(x)|dx ≦ ∫ t |xf(x)|dx で、右は積分可能であるから、Lebesgueの収束定理により、∫f(x) sin(tx)dx は積分可能となり、∫ f(x) sin(tx)dx = lim[n→∞] ∫ f(x) g[n](x) dx となる　（ここでは ∫f(x) sin(tx)dx が可積分であることだけを示したかった）。

そこで 、∫ |f(x)sin(tx)|dx ≦ ∫ |f(x)| dx であり、右が積分可能であるから、Lebesgue の収束定理が使え、lim[t→0] ∫ f(x)sin(tx) dx = ∫ ( lim[t→∞] f(x)sin(tx) ) dx = 0となる。

お礼

ありがとうございます

回答No.2

tmppassenger

そうでなくて、∫の中が xf(x) となっているのは正しいですか？

補足

それは合ってますね

回答No.1

tmppassenger

問題文に ∫[I]xf(x)＜∞ とありますが、誤字がないか確認してもらえますか？

補足

∫の右下にIがついている形です、自分の書き方が間違えてたかもしれないです