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チェビシェフの不等式(ルベーグ積分)
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- linearis
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>統計でも出てきましたが、違うものに見えます 大数の(弱)法則を証明するところで出てくるものですね。同じものです。
- adinat
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少し記号を変えて書きます。ルベーグ測度をμとします。またfは非負可積分、t>0としてとりあえず示します。 μ({x≧t})≦1/t∫f(x)dμ がチェビシェフの不等式です。piropiro1さんの右辺のλf(t)dtというのは少し変に思います。この証明は、 E={f≧t}はfが可積分だから可測集合になり 特にf≧t1_Eとなる。ただし1_EはEの定義函数とします。 この両辺を全空間Xで積分すれば ∫fdμ≧tμ({f≧t}) となってこの場合は証明されたことになります。 ところでfは[-∞,∞]に値とる可積分函数とありますが、値を負にとってほんとによいのか少しだけ疑問です。
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