不定積分の問題なんですが・・・

質問

次の条件を満たす関数f(x)を求めよ。

F(x)=xf(x)-2x^2+3x^2, f(1)=0
[F(x)は二次関数f(x)の１つの不定積分]
xの後ろの^2,^3は２乗、３乗の意味です。

この問題なんですが
f(x)=ax^2+bx+cとおくところまでは
わかったんですが、次からいくら考えても
分らないんで、解き方を教えて下さい。
お願いします。

回答No.3

Mr_Holland · ベストアンサー

＃１です。
　補足を拝見しました。

＞F(x)=xf(x)-2x^3+3x^2の間違えでした。

　f(x)=ax^2+bx+cとおく方法でしたら、＃２さんが言われるように恒等式で解きます。
　　(左辺)＝F(x)＝(a/3)x^3+(b/2)x^2+cx+d （ｄ：積分定数)
　　(右辺)＝x(ax^2+bx+c)-2x^3+3x^2＝(a-2)x^3+(b+3)x^2+cx

　∴(a/3)x^3+(b/2)x^2+cx+d＝(a-2)x^3+(b+3)x^2+cx
　⇔2(a/3-1)x^3+(b/2+3)x^2-d＝０

　ここで、上の式は任意のｘに対して常に成立しなければならない（ｘについての恒等式な）ので、係数が０でなければなりません。
　∴a/3-1＝０、b/2+3＝０、d＝０
　∴a＝３、b＝－６、ｄ＝０

　あとは、これらをf(x)=ax^2+bx+cの式に代入して、f(1)=0となるようにｃを決めれば二次関数f(x)が求められます。

　あと別解（私ならこちらで解きます）ですが、与えられた積分方程式を微分してから解く方法もあります。こちらの方が置く文字が少ないので計算しやすいかと思います。
　　F(x)=xf(x)-2x^3+3x^2
　　f(x)＝f(x)-xf'(x)-6x(x-1)
　∴f'(x)＝6(x-1)　　（任意のｘに対して成り立たなければならないので）
　∴f(x)＝3x^2-6x+C （C:積分定数)
　ところで、f(1)=0より、C=3なので
　∴f(x)=3(x-1)^2

お礼

わかりやすい回答ありがとうございました。
おかげでよく分かりました。

回答No.2

T-gamma

>f(x)=ax^2+bx+cとおくところまでは
わかったんですが、次からいくら考えても
分らないんで、解き方を教えて下さい。

F（x)=∫f(x)dxと
F(x)=xf(x)-2x^2+3x^2（ちなみに、この式は入力ミスかと）
から恒等式を作れば、解けます。
ただし、ｃだけは求まらないのでf(1)=0と上で求めたa,bから出します。

補足

F(x)=xf(x)-2x^3+3x^2の間違えでした。
すいません。
あと質問なんですが、F（x)=∫f(x)dxは
なぜ∫がつくんでしょうか？

回答No.1

Mr_Holland

＞F(x)=xf(x)-2x^2+3x^2

　x^2の項が２つありますが、合ってますか？

補足

F(x)=xf(x)-2x^3+3x^2の間違えでした。
すいません。