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3重積分
info33の回答
(1) I=∭[D](yz+zx)xdxdydz , D={(x,y,z)|x^2+y^2+z^2≤4 ,0≤y,0≤z} =∭[D] ((x^2)dxdy zdz +xdx ydy zdz) =∫ [-2,2] x^2 dx ∫ [0,(4-x^2)^(1/2)] dy ∫ [0,(4-x^2-y^2)^(1/2)] zdz +∫ [-2,2] xdx ∫ [0,(4-x^2)^(1/2)] ydy ∫ [0,(4-x^2-y^2)^(1/2)] zdz =∫ [-2,2] x^2 dx ∫ [0,(4-x^2)^(1/2)] dy {[(1/2)z^2] [0,(4-x^2-y^2)^(1/2)] } +∫ [-2,2] xdx ∫ [0,(4-x^2)^(1/2)] ydy {[(1/2)z^2] [0,(4-x^2-y^2)^(1/2)] } =∫ [-2,2] x^2 dx ∫ [0,(4-x^2)^(1/2)] dy {(1/2)(4-x^2-y^2) } +∫ [-2,2] xdx ∫ [0,(4-x^2)^(1/2)] ydy {(1/2)(4-x^2-y^2) } =(1/2) ∫ [-2,2] x^2 dx ∫ [0,(4-x^2)^(1/2)] (4-x^2-y^2)dy +(1/2) ∫ [-2,2] xdx ∫ [0,(4-x^2)^(1/2)] (4-x^2-y^2) ydy =(1/2) ∫ [-2,2] x^2 dx {[(4-x^2)y-(1/3)y^3] [0,(4-x^2)^(1/2)]} +(1/2) ∫ [-2,2] xdx {[(4-x^2)y^2/2-(1/4)y^4] [0,(4-x^2)^(1/2)]} =(1/2) ∫ [-2,2] x^2 dx {(4-x^2)-(1/3)(4-x^2)}(4-x^2)^(1/2) +(1/8) ∫ [-2,2] xdx {[2(4-x^2)-(4-x^2)}(4-x^2) =(1/3) ∫ [-2,2] x^2 (4-x^2)^(3/2) dx +(1/8) ∫ [-2,2] (4-x^2)^2 xdx =(2/3) ∫ [0,2] x^2 (4-x^2)^(3/2) dx =(1/9)[24arcsin(x/2)-x(x^4-7x^2+6)(4-x^2)^(1/2)] [0,2] =4π/3 (2) I=∭_[D] 2zx xdxdydz , D={(x,y,z)|0≤x≤1,0≤y≤x,0≤z≤√(2-x^2-y^2 )} =2 ∫ [0,1] x^2 dx ∫ [0, x] dy ∫ [0, (2-x^2-y^2)^(1/2)] z^2 dz =2 ∫ [0,1] x^2 dx ∫ [0, x] dy {[(1/3)z^3] [0, (2-x^2-y^2)^(1/2)] } =(2/3) ∫ [0,1] x^2 dx ∫ [0, x] (2-x^2-y^2)^(3/2) dy =(√2)/15
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