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３重積分

I=∭_D〖xyz xdxdydz ,〗 D={0≤x≤1,0≤y≤1-x,0≤z≤2-y} 解き方と回答が知りたいです。

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Iz=∫[0,2-y] zdz=(2-y)^2/2 , Iy=∫[0,…
ｚの範囲にｙが、ｙの範囲にｚが入っているので、順繰りに積分します。 ま…

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  • info33
  • ベストアンサー率50% (260/513)
回答No.2

Iz=∫[0,2-y] zdz=(2-y)^2/2 , Iy=∫[0,1-x] y Iz dy=∫[0,1-x] y(2-y)^2/2 dy=(1/2)(x^4/4+x^3/3 -x^2/2 -x+11/12) , I=∫[0,1] x^2 Iy dx=(1/2) ∫[0,1] x^2(x^4/4+x^3/3 -x^2/2 -x+11/12) dx , =(1/2) [x^7/28+x^6/18 -x^5/10 -x^4/4+11x^3/36] [0,1] =59/2520 ... (答え)

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  • phosphole
  • ベストアンサー率55% (466/833)
回答No.1

ｚの範囲にｙが、ｙの範囲にｚが入っているので、順繰りに積分します。 まずｚについては被積分関数が z なので、不定積分は 1/2z^2 となります。積分範囲 0 ~ 2-yを入れると、 1/2 (2-y)^2 となります。 次にｙについてですが、被積分関数からｙの部分を取り出すと、 y * {1/2 (2-y)^2} となります。 これを開くと 1/2 * {y^3 - 4y^2 + 4y} となるので、これの不定積分は 1/2*{1/4 y^4 - 4/3 y^3 + 2y^2} となります。これに積分範囲0~1-xを入れます。 最後にｘについて同様の操作を行なって下さい。 なかなか面倒です。

rsyfivo3587
質問者

お礼

ご丁寧にありがとうございます

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