証明 部分集合 零集合

質問

a を R の任意の 1 点とするとき, R の任意の部分集合 S に対してS × {a} は R2 の零集合である.
とはどういう事でしょうか。

回答No.1

tmppassenger · ベストアンサー

任意の正実数 e > 0を取る。
正整数nに対し、 I(n) = [ -n, n ) × [ a - e / (4n * (2^n)), a + e / (4n * (2^n)) ) とおく。任意の x∈ Sに対し、|x| < nとなる自然数 nがあるが、この時 -n < x < n となるから、<x,a> ∈ I(n)となる。従って、 { I(n) | nは正整数 } は、S×{a}の被覆である。
m(I(n)) = (2n) * 2e / (4n * (2^n)) = e / (2^n) 。従って Σ[n≧1] m(I(n)) = e となる。eは任意の正実数であるから、S×{a}は零集合である。