正射影について。

質問

以下のURLの続きです。
https://okwave.jp/qa/q9753034.html
次のような図を考えれば全て納得できるのですが、あっていますでしょうか？教えていただけないでしょうか？すみません。

回答No.41

muturajcp · ベストアンサー

辺ABが(αβの交線に)垂直な時は、辺ABがcosθ倍だけ縮んだものが,辺A'B'となる

正射影前後で不変なものは、(αβの交線に)平行な成分となる
辺ABが(αβの交線に)垂直な時は、
(底辺をABとした時の)△ABCの高さ(a√3/2)
↑BCのαβの交線に平行な成分(a√3/2)
↑ACのαβの交線に平行な成分(a√3/2)
はいずれも同じものである
が不変

ABが交線に平行と仮定すると

ABの交線に平行な成分は a
ABの交線に垂直な成分は 0
だから
A'B'の交線に平行な成分は a
A'B'の交線に垂直な成分は 0
だから
|A'B'|=|AB|=a
↓|A'B'|=1だから
a=1

AC,CBの交線に平行な成分は1/2
CA,CBの交線に垂直な成分は√3/2
だから
A'C',C'B'の交線に平行な成分は1/2
C'A',C'B'の交線に垂直な成分は(√3/2)cosθ
だから
|A'C'|=|C'B'|=(1/2)√{1+3(cosθ)^2}
↓|B'C'|=|C'A'|=2だから
(1/2)√{1+3(cosθ)^2}=2
√{1+3(cosθ)^2}=4
1+3(cosθ)^2=16
3(cosθ)^2=15
1>(cosθ)^2=5>1となって矛盾するから
∴
ABは交線に平行でない

回答No.10

178-tall

>なぜ、muturajcp 様は、私の図を間違っているというのでしょうか？

そんなこと言ってない。
想定図が異なれば、コメントが通用しないのは当然、ということ。

回答No.9

178-tall

>つまり、BとCが逆なだけで、図はあっているのでしょうか？

図はあっているのだろうけど、
参照 URL での小生の説明は、まったくチンプンカンだったはず。

補足

なぜ、muturajcp 様は、私の図を間違っているというのでしょうか？教えていただけないでしょうか？すみません。

回答No.8

muturajcp

平行でも、垂直でもない時は
この問題の答えにならないので考える必要はありません
なぜ問題が要求する事に答えないのですか?
「辺ACが、単調増加辺BCが、単調減少」
は意味不明ですが
この問題の答えには関係ないので考える必要はありません
なぜ問題が要求する事に答えないのですか?

添付図の3つの図は、
上の図が
この問題の答えの△ABCを
上から下へβ平面に垂直方向へ見た図です。

下の左の図は
正面から手前から奥行き方向へ見た図です

下の右の図は
右側面図です

△ABC
は
1辺aの
正3角形

それの
平面βへの正射影は

|A'B'|=1
|B'C'|=2
|C'A'|=2

となったとき

(|AA'|-|BB'|)^2+|A'B'|^2=|AB|^2
↓|A'B'|=1,|AB|=aだから
(|AA'|-|BB'|)^2+1=a^2

||AA'|-|BB'||=√(a^2-1)

(|CC'|-|BB'|)^2+|B'C'|^2=|BC|^2
↓|B'C'|=2,|BC|=aだから
(|CC'|-|BB'|)^2+4=a^2

||CC'|-|BB'||=√(a^2-4)<√(a^2-1)

(|AA'|-|CC'|)^2+|C'A'|^2=|CA|^2
↓|C'A'|=2,|CA|=aだから
(|AA'|-|CC'|)^2+4=a^2

||AA'|-|CC'||=√(a^2-4)<√(a^2-1)

|BB'|<|CC'|<|AA'|の時

|AA'|-|BB'|=√(a^2-1)
|CC'|-|BB'|=√(a^2-4)
|AA'|-|CC'|=√(a^2-4)
だから

2√(a^2-4)=√(a^2-1)
4(a^2-4)=a^2-1
4a^2-16=a^2-1
3a^2-15=0
a^2-5=0
a^2=5
∴
a=√5
∴
cosθ=1/√5

補足

私の図は、AB＝2で書いているつもりはないです。辺ACが、単調減少、辺BCが、単調増加するような図を書いただけです。178ーtall 様の通りに書いた図なのです。すみません。大変失礼ですね。すみません。

回答No.7

178-tall

>今回の添付図を考えると、Bを中心として、回転すると、178ーtall 様の以前言っていた右下の角度が小さくなるし、辺BCの角度が大きくなり、辺BCの長さが短くなって、当てはまると思うのですが。

三角形の図面での頂点配置ルールの違い？

小生のは、
　　 A
　　 △
　 B　　C

貴殿のは、
　　 A
　　 △
　 C　　B

補足

つまり、BとCが逆なだけで、図はあっているのでしょうか？教えていただけないでしょうか？すみません。

回答No.6

muturajcp

△ABC
は
1辺aの
正3角形

それの
平面βへの正射影は

|A'B'|=1
|B'C'|=2
|C'A'|=2

となったとき

(|AA'|-|BB'|)^2+|A'B'|^2=|AB|^2
↓|A'B'|=1,|AB|=aだから
(|AA'|-|BB'|)^2+1=a^2

||AA'|-|BB'||=√(a^2-1)

(|CC'|-|BB'|)^2+|B'C'|^2=|BC|^2
↓|B'C'|=2,|BC|=aだから
(|CC'|-|BB'|)^2+4=a^2

||CC'|-|BB'||=√(a^2-4)<√(a^2-1)

(|AA'|-|CC'|)^2+|C'A'|^2=|CA|^2
↓|C'A'|=2,|CA|=aだから
(|AA'|-|CC'|)^2+4=a^2

||AA'|-|CC'||=√(a^2-4)<√(a^2-1)

|BB'|<|CC'|<|AA'|の時

|AA'|-|BB'|=√(a^2-1)
|CC'|-|BB'|=√(a^2-4)
|AA'|-|CC'|=√(a^2-4)
だから

2√(a^2-4)=√(a^2-1)
4(a^2-4)=a^2-1
4a^2-16=a^2-1
3a^2-15=0
a^2-5=0
a^2=5
∴
a=√5
∴
cosθ=1/√5

補足

平行でも、垂直でもない時の図は、どうなるのでしょうか？なぜ、皆さんは、辺ACが、単調増加辺BCが、単調減少なのでしょうか？それと、添付図の3つの図は、それぞれ、なんなのでしょうか？教えていただけないでしょうか？すみません。

回答No.5

178-tall

参照 URL の質問
　　↓
>辺ABが交線lに平行でなく、垂直でもない場合どうなるのでしょうか？…

現質問の添付図は、「辺 AB が交線 l に平行」の場合。

この質問の本意は何？
　　　↓
>次のような図を考えれば全て納得できるのですが、あっていますでしょうか？

参照 URL では、「辺ABが交線lに平行でなく、垂直でもない場合　どうなるのでしょうか？」へのレスポンスを求めていた。

これに対し、「辺 AB が交線 l に平行」な場合からスタートしてみたが、あっさり脱線。
今みると、そのスタートでの想定図は、今回の添付図とは天地反転のもの。

あらためて、「今回の添付図」を考えれば全て納得できる、とはどういう意味？

補足

今回の添付図を考えると、Bを中心として、回転すると、178ーtall 様の以前言っていた右下の角度が小さくなるし、辺BCの角度が大きくなり、辺BCの長さが短くなって、当てはまると思うのですが。それで、納得がいく言ったのです。教えていただけないでしょうか？すみません。この図だと。

回答No.4

musume12

> また、辺ACが、単調増加で、辺BCが、単調減少になるのでしょうか？
　　辺AC は単調増加
　　辺AB は単調減少
というのはあくまでも下図の例。どの辺が単調増加、もしくは単調減少になるかは、平面α上の正三角形の位置（たとえば辺 AB が交線 L に対して何度傾いているか）によって当然異なる。

補足

これは、Aを中心として回転したものですね？教えていただけないでしょうか？すみません。

回答No.3

musume12

そんな薄汚い図と、デタラメな日本語で回答がある方が不思議なのだが、ヒマなので私も不思議な男になるwwwwwwwwwww
　ホントかウソかわからんが、正射影が理解できたのなら以下の図で一目瞭然だろう。平面αとβの傾斜角の範囲は 0 < θ < 90 ° を考えれば十分だから
　　θ = 30 °, θ = 60 °, θ = 80 °
のざっとした正射影の図をあげておく。赤の三角形が正射影。0 < θ < 90 ° の範囲で
　　AC は単調増加
　　AB は単調減少

回答No.2

TEN64

あってる

回答No.1

muturajcp

問題では
△ABC
は正3角形だけれども

それの
平面βへの正射影は

|A'B'|=1
|B'C'|=2
|C'A'|=2

となったときの
aの値とcosθを求めよといっているのです

その図だと

|A'B'|=2
|B'C'|=1
|C'A'|=1

となっているので間違っています

補足

あの、すみません。どのような図だと正しいのでしょうか？正しい図をお教えていただけないでしょうか？また、辺ACが、単調増加で、辺BCが、単調減少になるのでしょうか？詳しい図をあげていただけないでしょうか？教えていただけないでしょうか？すみません。