y=(e^x+e^-x)/(e^x-e^-x)

質問

y=(e^x+e^-x)/(e^x-e^-x)の微分を求めるとき、導関数の商の公式を使いストレートに問題を解き解答を求める事は出来たのですが、別の解き方を見てみると、その途中式が理解できません。
よろしければ、詳しい解説お願いします。
y=(e^x+e^-x)/(e^x－e^-x) ← 分母・分子に e^x を掛ける
=(e^2x+1)/(e^2x－1)＝1＋2/(e^2x－1)
y´=－2(e^2x－1)´/(e^2x－1)²
=－2・2e^2x/(e^2x－1)² ← 分母・分子を e^2x で割る
＝－4/(e^x－e^-x)²
わからないポイント！
・ なぜe^xを最初に分母、分子にかけているのか？
・ (e^2x+1)/(e^2x－1)＝1＋2/(e^2x－1)の右辺の分子が1+2になっているのか？
・ 最後になぜe^2xで、分母、分子で割ってるのか？
・ 最後にe^2xでわって、分母が、最終的なこたえになる仕組みが、理解できない？
以上よろしくお願いします。

回答No.2

info33

わからないポイント！
・ なぜe^xを最初に分母、分子にかけているのか？
> 分母の微分を簡単にするため

・ (e^2x+1)/(e^2x－1)＝1＋2/(e^2x－1)の右辺の分子が1+2になっているのか？
> (e^2x+1)/(e^2x－1)=((e^2x -1)+2)/(e^2x－1)
={(e^2x -1)/(e^2x－1)} +{2/(e^2x－1)}
＝1＋ {2/(e^2x－1)}

・ 最後になぜe^2xで、分母、分子で割ってるのか？
> 分母が2乗だから

・ 最後にe^2xでわって、分母が、最終的なこたえになる仕組みが、理解できない？
> y= 1＋{2/(e^2x－1)}
y´=－2(e^2x－1)´/(e^2x－1)²
=－2・2e^2x/(e^2x－1)² ← 分母・分子を e^2x で割る
= -4 / {(e^2x－1)² / e^2x} = -4 / {(e^2x－1)² / (e^x)^2}
= -4 / {((e^x)^2－1) / (e^x)}^2
＝－4/(e^x－e^-x)²

お礼

丁寧な説明ありがとうこざいました。
とてもよく分かりました。
今後も精進しようと思います。