キャパシタの充放電の過渡応答について

質問

以下のような回路でコンデンサを満充電した状態で，
充電をしながら放電（スイッチをオン）にした時の過渡応答を
計算したいのですが，合点のゆく答えが導けず困っております？
※　初期条件の与え方がよく分かりません。
宜しくお願いします。

回答No.1

info33 · ベストアンサー

ラプラス変換(s領域等価回路)を用いて V(t) (t≧0) を求める。

t≧0 における s領域回路方程式を
I(s)=I1(s)+I2(s) ... (1)
I1(s)=CsV(s)-CV(+0) ... (2)
I2(s)=V(s)/R ... (3)
E=rI(s)+V(s) ... (4)

初期条件:
スイッチ切り替え(t=0) 前後でコンデンサCについて電荷保存則を適用する。
CV(+0)=CVc(+0)=CVc(-0)=CE ... (5)
∴V(+0)=E ... (6)

(6)を(2)に代入して
I1(s)=CsV(s)-CE ... (7)
I2(s)=V(s)/R ... (3)
(4) より
I(s)={E/s-V(s)}/r ... (8)

(3),(7),(8)を(1)に代入して
{E/s-V(s)}/r=CsV(s)-CE+V(s)/R ... (9)

V(s) (Cs+1/r+1/R)}=CE+E/sr ... (10)
V(s)=E(sCr+1)/{sr(Cs+(r+R)/rR)} ...(11-1)
=E(s+1/Cr)/{s(s+(r+R)/rRC} ... (11-2)
部分分数分解して
V(s)={ER/(r+R)}{1/s+(r/R)/(s+(r+R)/(rRC))} ... (12)

逆ラプラス変換して
∴ V(t)=ER/(r+R) +Er/(r+R) e^{-t(r+R)/(rRC)} [V] (t≧0) ... (13)

なお,
Vc(t)=E , V(t)=0 , I(t)=I1(t)=0 , I2(t)=0 (t<0) ... (14-1)
Vc(-0)=E , V(-0)=0 , I(-0)=I1(-0)=0 , I2(-0)=0 .. (14-2)

t≧0で,
Vc(t)=V(t)=ER/(r+R) +Er/(r+R) e^{-t(r+R)/(rRC)} [V] ... (15)
I2(t)=V(t)/R=E/(r+R) +{Er/(R(r+R))} e^{-t(r+R)/(rRC)} [A] .. (16)
I(t)={E/(r+R)}{1- e^(-t(r+R)/(rRC))} [A] ... (17)
I1(t)=I(t)-I2(t)= -{E/R} e^(-t(r+R)/(rRC))} [A] ... (18)