因数分解

質問

(x2-y2)2-8*(x2+y2)+16を因数分解したら、(x+y+2)(x+y-2)(x-y+2)(x-y-2)となるようですが、その過程がわかりません。教えてください。
（x2やy2はｘの二乗とｙの二乗を表しています。）

回答No.3

konitak · ベストアンサー

まだ受け付けてます？

これの類題は、x^4+x^2+1の因数分解です。
x^4 + 2*x^2 + 1 - x^2 = (x^2 + 1)^2 - x^2
と因数分解するやつ。
これの次がx^4 + 4 ですね。（これも4*x^2を加減してやる）
この２つは有名なので、ご存じかと思います。

これと同じ方法で解答されたのが、noname#598さんの解法です。
4*x^2*y^2を加減して解くということ、
(x^2-y^2)^2 = (x^2 + y^2)^2 - 4*x^2*y^2
であるということ。ちなみにこの式変形はたまに使いますよ。

お礼

げっ！締め切るの忘れてた...。あっ、でもまた忘れてたからいい勉強させてもらいました。ご回答ありがとうございました。

回答No.2

134

まず　(x2+y2)2を足して、引きます。

（x2-y2)2-(x2+y2)2+(x2+y2)2-8*(x2+y2)+16

はじめの２項が和と差の積、後ろ３項が二乗の公式通りなので、

(x2-y2+x2+y2)(x2-y2-x2-y2)+(x2+y2-4)2
=2x2*(-2y2)+(x2+y2-4)2
=-4x2y2+(x2+y2-4)2
=(x2-2xy+y2-4)(x2+2xy+y2-4)
=( (x-y)2-4 )( (x+y)2-4 )
=(x-y+2)(x-y-2)(x+y+2)(x+y-2)

にて、終了になるかと思います。

お礼

ご回答ありがとうございました。

回答No.1

noname#598

x^2+y^2＝Ａとすると、Ａ^2＝x^2+y^2＋２x^2y^2より、
(x^2-y^2)^2＝Ａ^2－４x^2y^2
よって、
Ａ^2－８Ａ＋１６－４x^2y^2
＝(Ａ－４)^2－（２xy）^2
＝（Ａ＋２xy－４）（Ａ－２xy－４）
＝（x^2＋２xy+y^2－４）（x^2－２xy+y^2－４）
＝{(x+y)^2－４}{(x-y)^2－４}
＝(x+y+2)(x+y-2)(x-y+2)(x-y-2)

お礼

ご回答ありがとうございました。